平移（translation）把图形上每个点都朝同一方向移动相同的距离，不旋转也不翻转。要完整描述平移，写出**“平移”这个词和它的列向量**（column vector）。
列向量告诉我们什么？
列向量有两个数，上下排列。上面的数是水平方向（x 方向）的移动，下面的数是向上或向下（y 方向）的移动。
向右和向上为正，向左和向下为负。在本站的文字里，列向量写成 (3, −1)，表示上一行是 3，下一行是 −1。
点用大写字母表示，例如 P(3, −1)，这样就能分清点和向量。
怎样从物体和像求出向量？
- 选一个点：在物体上选一点，再找到它在像上对应的点。
- 用像减物体：先算 x 值，再算 y 值。
- 写成一列：x 的结果在上面。
- 检查：把向量加到物体的点上，应该得到像上的点。
例题详解
点 P(−2, 3) 经平移后变成 P′(4, −1)。描述这个平移。
第一步，x 方向的移动： 像的 x 减物体的 x = 4 − (−2) = 4 + 2 = 6。
第二步，y 方向的移动： 像的 y 减物体的 y = −1 − 3 = −4。
第三步，写出答案： 这个平移的列向量是 (6, −4)。
第四步，检查： −2 + 6 = 4，3 + (−4) = −1。物体落在 P′ 上，所以向量正确。
用文字说，就是向右 6 格、向下 4 格。这个向量就是完整的描述，同一个向量也会把图形上其他所有点移动相同的量。
要留意的错误
常见的失误是减反了，用物体减像。
错误答案： (−6, 4)
学生算的是 −2 − 4 = −6，3 − (−1) = 4，这是从 P′ 回到 P 的移动。
这个向量本身是一个有效的平移，但它是相反的那个。改正方法是想着“终点减起点”。
快速检查的办法是把你的向量加到物体的点上。这里 −2 + (−6) = −8，不是 4，检查马上就会失败。
自我检测
先试做，再打开答案核对。
1. 点 Q(−5, 2) 按向量 (4, −7) 平移。像的坐标是什么？
查看答案
x：−5 + 4 = −1。y：2 + (−7) = −5。
Q′ = (−1, −5)
2. 一个平移把 A(1, −3) 映射到 A′(−2, 5)。写出它的列向量。
查看答案
x：−2 − 1 = −3。y：5 − (−3) = 8。
向量 (−3, 8)。 检查：1 + (−3) = −2，−3 + 8 = 5。
3. 一个平移的向量是 (2, 5)。哪个向量能把像移回物体？
查看答案
把两个方向的移动都反过来：(−2, −5)。
下一步
接下来，学习在图上相加位移向量，因为连续两次平移就等于一个合并的向量。准备好后，可以做向量与变换练习题组。无计算器运算训练能帮你练习带正负号的运算。
有些学生能把平移画得很准，却在向量写法上失分。这正是我们的老师在数学线上一对一补习中会留意的细节。