反射（reflection） 是把图像沿一条线翻转，就像照镜子。方程 y = −f(x) 使图像对 x 轴反射，y = f(−x) 使图像对 y 轴反射。形状保持不变，但每个点的位置都会改变。
这一课接在平移简单的图像之后，属于图像与变换。两者合起来，就是函数图像的基本变换。
怎样区分这两种反射？
问一问：负号作用在哪个坐标上。
负号作用在整个函数： y = −f(x)。输出取负，每个 y 值改变符号。图像沿 x 轴上下翻转。
负号作用在输入： y = f(−x)。输入取负，每个 x 值改变符号。图像沿 y 轴左右翻转。
一个好习惯是在原图像上选一个点，算出它落在哪里。一个测试点就能确定方向。
例题详解
设 f(x) = x² + 2x。求 y = −f(x) 和 y = f(−x) 的方程与顶点。
第一步，原图像： f(x) = x² + 2x = (x + 1)² − 1。顶点是 (−1, −1)。根是 x = 0 和 x = −2，因为 x(x + 2) = 0。
第二步，y = −f(x)： y = −x² − 2x。每个 y 改变符号，所以顶点是 (−1, 1)。根仍是 0 和 −2。曲线现在开口向下。
第三步，y = f(−x)： 把 x 换成 −x：y = (−x)² + 2(−x) = x² − 2x。每个 x 改变符号，所以顶点是 (1, −1)。根变成 x = 0 和 x = 2，因为 x(x − 2) = 0。
第四步，用一个点检验： 在原图像上，f(1) = 1 + 2 = 3。在 y = −f(x) 上，x = 1 时的值是 −3。在 y = f(−x) 上，值 3 出现在 x = −1 处，因为 (−1)² − 2(−1) = 3。
要留意的错误
常见的失误是以为 f(−x) 会把图像上下翻转。
错误的答案： “y = f(−x) 是对 x 轴反射，因为有一个负号。”
学生注意到负号，就凭感觉选了轴。
用一个点测试就能纠正。如果 (1, 3) 在 y = f(x) 上，那么对 y = f(−x) 来说，输出 3 现在出现在 x = −1，得到 (−1, 3)。高度仍是 3，只有 x 改变了符号，这是对 y 轴的反射。
自我检测
不用计算器试做这些题，然后打开答案。
1. 点 (3, 5) 在 y = f(x) 上。它在 y = −f(x) 和 y = f(−x) 上对应的点在哪里？
显示答案
在 y = −f(x) 上，y 值改变符号：(3, −5)。在 y = f(−x) 上，x 值改变符号：(−3, 5)。
2. 图像 y = x² − 4 对 x 轴反射。写出新方程和 y 截距。
显示答案
新方程：y = −(x² − 4) = y = 4 − x²。y 截距是 4，即 (0, 4)。原来的截距是 −4。
3. 直线 y = 3x − 6 对 y 轴反射。求方程并检验。
显示答案
把 x 换成 −x：y = 3(−x) − 6 = y = −3x − 6。检验：原来的 x 截距 (2, 0) 变成 (−2, 0)，而 −3 × (−2) − 6 = 0。y 截距仍是 −6。
接下来学什么
现在到图像与变换练习里同时尝试两种变换，再继续学习用交点估算方程的解。二次函数结构探索器把二次函数和它的镜像并排显示，图像模型探索器则提供其他形状的额外练习。
有些学生看得懂反射，一加上平移就乱了。一对一线上数学补习的老师会陪你一步一步变换，每一步都用一个点检验。