Pantulan (reflection) membalikkan graf merentasi satu garis, seperti cermin. Persamaan y = −f(x) memantulkan graf pada paksi-x, dan y = f(−x) memantulkannya pada paksi-y. Bentuknya kekal sama, tetapi setiap titik bertukar kedudukan.
Pelajaran ini menyambung menterjemah graf mudah dalam graf dan penjelmaan. Translasi dan pantulan ialah dua gerakan asas graf.
Bagaimana membezakan dua pantulan itu?
Tanya koordinat mana yang disentuh oleh tanda tolak.
Tolak pada seluruh fungsi: y = −f(x). Output dinegatifkan, jadi setiap nilai y bertukar tanda. Graf terbalik ke bawah merentasi paksi-x.
Tolak pada input: y = f(−x). Input dinegatifkan, jadi setiap nilai x bertukar tanda. Graf terbalik ke sisi merentasi paksi-y.
Pilih satu titik pada graf asal dan kira kedudukan barunya. Satu titik ujian sudah menentukan arahnya.
Contoh berlangkah
Biar f(x) = x² + 2x. Cari persamaan dan bucu bagi y = −f(x) dan y = f(−x).
Langkah 1, asal: f(x) = x² + 2x = (x + 1)² − 1. Bucunya (−1, −1). Puncanya x = 0 dan x = −2, kerana x(x + 2) = 0.
Langkah 2, y = −f(x): y = −x² − 2x. Setiap y bertukar tanda, jadi bucunya (−1, 1). Punca kekal pada 0 dan −2. Lengkung kini terbuka ke bawah.
Langkah 3, y = f(−x): gantikan x dengan −x: y = (−x)² + 2(−x) = x² − 2x. Setiap x bertukar tanda, jadi bucunya (1, −1). Punca menjadi x = 0 dan x = 2, kerana x(x − 2) = 0.
Langkah 4, semak dengan satu titik: pada graf asal, f(1) = 1 + 2 = 3. Pada y = −f(x), pada x = 1 nilainya −3. Pada y = f(−x), nilai 3 muncul pada x = −1, kerana (−1)² − 2(−1) = 3.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menyangka f(−x) membalikkan graf ke bawah.
Jawapan yang salah: “y = f(−x) ialah pantulan pada paksi-x, kerana ada tanda tolak.”
Pelajar ternampak tanda tolak lalu meneka paksinya.
Uji satu titik untuk membetulkannya. Jika (1, 3) berada pada y = f(x), maka bagi y = f(−x) output 3 kini dicapai pada x = −1, memberi (−1, 3). Ketinggian kekal 3 dan hanya x bertukar tanda, iaitu pantulan pada paksi-y.
Semak diri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Titik (3, 5) berada pada y = f(x). Di manakah titik sepadan pada y = −f(x) dan pada y = f(−x)?
Tunjuk jawapan
Pada y = −f(x), nilai y bertukar tanda: (3, −5). Pada y = f(−x), nilai x bertukar tanda: (−3, 5).
2. Graf y = x² − 4 dipantulkan pada paksi-x. Berikan persamaan baharu dan pintasan-y.
Tunjuk jawapan
Persamaan baharu: y = −(x² − 4) = y = 4 − x². Pintasan-y ialah 4, iaitu (0, 4). Pintasan asal ialah −4.
3. Garis y = 3x − 6 dipantulkan pada paksi-y. Cari persamaan dan semaknya.
Tunjuk jawapan
Gantikan x dengan −x: y = 3(−x) − 6 = y = −3x − 6. Semakan: pintasan-x asal (2, 0) menjadi (−2, 0), dan −3 × (−2) − 6 = 0. Pintasan-y kekal pada −6.
Seterusnya
Cuba kedua-dua gerakan dalam set latihan graf dan penjelmaan, dan teruskan ke menggunakan persilangan untuk menganggar penyelesaian. Penjelajah struktur kuadratik menunjukkan kuadratik dan imej cerminnya bersebelahan, dan penjelajah model graf memberi latihan tambahan dengan bentuk lain.
Sesetengah pelajar faham pantulan tetapi keliru apabila translasi ditambah sama. Dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu, guru boleh membimbing anda menentukan urutan pantulan dan translasi satu langkah demi satu langkah.