化简代数分式时，把分子（numerator）和分母（denominator）完全分解，约去两边都有的因式，并写出使原分母为零的值。约分只对相乘的因式有效，不能用在相加或相减的项上。
它用到代数结构单元前面所有的内容，特别是公因数和分解二次式。
为什么除外值很重要？
分母为零时，分式没有意义。原来的分式 (x − 1)/((x − 1)(x + 1)) 在 x = 1 或 x = −1 时无法计算，尽管化简后的 1/(x + 1) 在 x = 1 时可以计算。
所以化简后的形式，只有在原分式存在的地方才与原式相等。写出除外值，就是如实记录这一点。
化简的步骤
- 完全分解分子。
- 完全分解分母。
- 读出除外值： 从原分母的各个因式出发，令每个因式等于零。
- 约去 分子和分母中都有的因式。
- 写出化简后的分式， 并注明除外值。
- 检查： 代入一个允许的值。
例题
化简 (x² − 4) / (x² + 5x + 6)，并写出 x 不能取的值。
第一步，分子： x² − 4 是平方差，所以是 (x − 2)(x + 2)。
第二步，分母： 乘积为 6、和为 5 的两个数是 2 和 3，所以 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。
第三步，除外值： 原分母在 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0 时为零，即 x = −2 或 x = −3。
第四步，约分： 因式 (x + 2) 在两边都有。
第五步，答案：
(x − 2)/(x + 3)，其中 x ≠ −2 且 x ≠ −3
检查： 取 x = 1，原式是 (1 − 4)/(1 + 5 + 6) = −3/12 = −1/4。答案是 (−1)/4 = −1/4。取 x = 0，原式是 −4/6 = −2/3，答案也是 −2/3。两者一致。
请注意，虽然化简后的分式可以接受 x = −2，这个值仍然要除外。除外值来自原来的分式。
要留意的错误
常见的失误是约掉了一个项，而不是一个因式。
错误步骤： (x + 6)/6 = x + 1
学生把分母的 6 和分子的 6 约掉了。但分子里的 6 是和 x 相加的，并没有乘在整个式子上。
改正的方法是问自己：要约的东西是否乘在整个分子上。这里不是，所以 (x + 6)/6 已经是最简形式。代入 x = 6 就能看出问题：(6 + 6)/6 = 2，而错误答案得 7。
第二种失误是约分正确，却漏掉了除外值。题目要求时这会丢分，所以请养成习惯：在约分之前就先把除外值写下来。
自我检测
不用计算器做下面的题，然后打开答案。
1. 化简 (4x + 8)/(x² − 4)，并写出除外值
显示答案
分子：4(x + 2)。分母：(x − 2)(x + 2)。分母在 x = 2 和 x = −2 时为零。约去 (x + 2)。
4/(x − 2)，其中 x ≠ 2 且 x ≠ −2
用 x = 3 检查：原式是 20/5 = 4，而 4/1 = 4。
2. 化简 (x² − 9)/(x² − 3x)，并写出除外值
显示答案
分子：(x − 3)(x + 3)。分母：x(x − 3)。分母在 x = 0 和 x = 3 时为零。约去 (x − 3)。
(x + 3)/x，其中 x ≠ 0 且 x ≠ 3
用 x = 6 检查：原式是 27/18 = 3/2，而 9/6 = 3/2。
3. 化简 (x − 1)/(x² − 1)，并写出除外值
显示答案
分母：(x − 1)(x + 1)。分母在 x = 1 和 x = −1 时为零。约去 (x − 1)，分子剩下 1。
1/(x + 1)，其中 x ≠ 1 且 x ≠ −1
用 x = 3 检查：原式是 2/8 = 1/4，而 1/(3 + 1) = 1/4。
接下来学什么
在代数结构练习中把所有内容放在一起试一试。之后方程与公式会用同样的因式分解习惯来求 x。无计算器运算训练器适合用来手动测试允许的取值。
如果限时做题时，约分或除外值仍会出错，一对一线上数学补习的老师可以看你的步骤，找出是分解、约分还是除外值那一步出了问题。