用公因数做因式分解（factorise）时，把每一项共有的最大因式提到括号外面，剩下的留在括号里。它就是倒过来的展开：把答案展开，必须得到原式。这通常是任何因式分解题要先检查的一步。
什么才算最大公因数？
对 12x²y 和 18xy² 这样的项，把数字和每个字母分开处理。
数字部分：12 和 18 的最大公因数是 6。字母 x：两项中最低的指数是 x¹。字母 y：最低的指数是 y¹。
合起来，公因式就是 6xy。“最大”的意思是把所有共有的部分都提出来，这样括号里就不会再剩下共有的东西。
因式分解的步骤
- 求数字部分的最大公因数。
- 找出每个在所有项中都出现的字母， 选取它的最低指数。
- 把公因式写在括号外面。
- 把每一项除以这个公因式， 结果写在括号里，保留符号。
- 展开检查， 并确认括号里没有再剩下的公因式。
例题
完全分解 12x²y − 18xy²
第一步，数字： 12 和 18 的最大公因数是 6。
第二步，字母： 两项都含 x 和 y。x 的最低指数是 1，y 的最低指数也是 1。公因式是 6xy。
第三步，每一项各自相除：
- 12x²y ÷ 6xy = 2x
- −18xy² ÷ 6xy = −3y
第四步，答案：
6xy(2x − 3y)
检查： 展开回去。6xy × 2x = 12x²y，6xy × (−3y) = −18xy²。两项都与原式相符。括号里的 2x 和 3y 没有共同的部分，所以分解是完整的。
要留意的错误
常见的失误是整项被提出后，忘了剩下的那个 1。
错误答案： 8x² + 8x = 8x(x)
学生从两项中提出了 8x，但括号里只写了 x。展开得 8x²，而不是 8x² + 8x，所以少了一项。
改正的方法是每一项都要除，包括刚好等于公因式的那一项。8x² ÷ 8x = x，8x ÷ 8x = 1。所以答案是 8x(x + 1)。
第二种失误是只分解了一部分，例如 12x² − 18x = 3x(4x − 6)。展开确实得到原式，但括号里仍有公因数 2，所以答案还不完整。完整的分解是 6x(2x − 3)。
自我检测
不用计算器做下面的题，然后打开答案。
1. 完全分解 15ab − 10b²
显示答案
数字：15 和 10 的最大公因数是 5。字母 b 在两项中都出现，最低指数是 1。公因式是 5b。
15ab ÷ 5b = 3a，−10b² ÷ 5b = −2b。
5b(3a − 2b)
2. 完全分解 4x³ + 12x²
显示答案
4 和 12 的最大公因数是 4。x 的最低指数是 2，所以是 x²。公因式是 4x²。
4x³ ÷ 4x² = x，12x² ÷ 4x² = 3。
4x²(x + 3)
检查：4x² × x = 4x³，4x² × 3 = 12x²。
3. 分解 −9p − 6，提出负的公因数
显示答案
9 和 6 的最大公因数是 3。提出 −3 会改变括号里的符号：−9p ÷ (−3) = 3p，−6 ÷ (−3) = +2。
−3(3p + 2)
检查：−3 × 3p = −9p，−3 × 2 = −6。
接下来学什么
公因数掌握稳了，就继续学分解整数因数的二次式，那里公因数是第一个要检查的东西。遇到难算的数字，无计算器运算训练器可以帮你找最大公因数。
如果你看得懂每一道例题，但在新题里漏掉完整的公因数，老师可以在一对一线上数学补习中和你一起建立一套按步骤进行的习惯。