写出三角恒等式的排除值

排除值是指让恒等式不能使用的角度，因为式子中有某个部分无定义。大多数情况是分母等于零。有些附加数学题会要求在指定范围内写出这些角度，细心的学生即使题目没问也会留意。

这一课接在代入前先化简之后，属于三角恒等式模块。

排除值从哪里来？

三角函数可能在四种情况下无定义。

• cos x = 0 时，tan x 和 sec x 无定义。
• sin x = 0 时，cot x 和 cosec x 无定义。
• 任何分数在分母为零时无定义，例如 1 − cos x 或 sin x + cos x。
• 约去某个因式，就假设了该因式不为零，所以每个被约去的因式都会多一个限制。

怎样找出它们？

1. 看原来的式子，不是化简后的式子。写下每个分母，以及每个在某处无定义的函数。
2. 让每一个等于零，在给定范围内求解。
3. 两边都要做。 取结果的并集。
4. 列出给定范围内的角度，题目用度数还是弧度，就用哪一种。

例题

证明 (1 − cos x) / sin x ≡ sin x / (1 + cos x)，并写出在 0° ≤ x ≤ 360° 内恒等式成立的 x 值。

从左边证明： 分子分母同乘 (1 + cos x)：

(1 − cos x)(1 + cos x) / [sin x (1 + cos x)] = (1 − cos²x) / [sin x (1 + cos x)] = sin²x / [sin x (1 + cos x)] = sin x / (1 + cos x)。

左边无定义： sin x = 0，所以 x = 0°、180°、360°。

右边无定义： 1 + cos x = 0，所以 cos x = −1，所以 x = 180°。

并集： 在该范围内，除了 x = 0°、180° 和 360°，恒等式都成立。

右边在 0° 和 360° 有定义（值为 0），但左边是 0/0，所以这些角度要从恒等式中排除。用 x = 90° 检查：左边是 (1 − 0) / 1 = 1，右边是 1 / (1 + 0) = 1。

要提防的错误

常见的失误是只根据化简后的形式写限制，或者完全不写。

错误做法： (sin x cos x) / cos x = sin x，所以对所有 x 都成立。

学生约去了 cos x，忘了原式在 cos x = 0 时没有定义。

正确做法是回到原分数。

它在 cos x = 0 时无定义，所以在 0° ≤ x ≤ 360° 内要排除 x = 90° 和 270°。恒等式 (sin x cos x) / cos x = sin x 在其他地方成立。在 x = 90° 时，左边是 0/0，右边是 1。

自我检测

1. 写出在 0° ≤ x ≤ 360° 内让 tan x 无定义的 x 值。

2. 写出在 0° ≤ x ≤ 360° 内让 1 / (sin x − cos x) 无定义的 x 值。

3. 写出在 0° ≤ x ≤ 360° 内让 cosec x + cot x 无定义的 x 值。

接下来学什么

接着学找出无效的约分，因为大多数非法约分也会忽略限制条件。三角形与方位角推理板能帮你想象某个角度上哪些比值存在，免计算器演算训练器则支持代数练习。

写出排除值需要养成习惯，不是靠记公式。一对一线上附加数学补习的老师会在你的每道证明题后面，提醒你检查哪些角度要排除。