找出无效的约分

无效约分，就是把分子和分母里并不相同的因式约掉。这是三角代数中常见的丢分原因，因为错误的一行看起来很整齐。这一课给你一条规则、一个快速检验的方法和修正的办法。

这一课为三角恒等式模块收尾，接在写出排除值之后。

约分的规则是什么？

你只能约去整个分子和整个分母共有的因式。因式是相乘的东西，项是相加或相减的东西。所以：

• sin x cos x / cos x = sin x 是对的，因为 cos x 乘在分子的全部内容上。
• (sin x + cos x) / cos x 并不等于 sin x + 1。分子里的 cos x 是和里的一项。

约去因式也假设了该因式不为零，这与排除值相关。

怎样检查可疑的一步？

1. 选一个检验角度，例如 30° 或 45°，sin 和 cos 的值容易算。
2. 分别计算这一步之前和之后的值。
3. 比较。 如果数值不同，这一步无效。
4. 如果相同，再选第二个角度，因为单个值可能碰巧相符。
5. 修正这一步：因式分解、拆开分数或使用恒等式。

例题

有学生这样化简 (sin²x + cos²x) / (sin x + cos x)：

第 1 行：(sin²x + cos²x) / (sin x + cos x)

第 2 行：sin x + cos x（约去“平方”）

用 x = 30° 诊断。 sin 30° = 0.5，cos 30° ≈ 0.866，所以 sin x + cos x ≈ 1.366。

第 1 行：分子是 sin²x + cos²x = 1，所以值为 1 / 1.366 ≈ 0.732。

第 2 行：1.366。

两者不同，所以第 2 行无效。平方不是分子和分母的公因式：分子是平方之和，分母是和。

修正： 先用恒等式。sin²x + cos²x = 1，所以式子是 1 / (sin x + cos x)，无法再化简。检查：1 / 1.366 ≈ 0.732。

注意，x = 90° 抓不出这个错误：sin 90° + cos 90° = 1，两行都得 1。这就是为什么要选不特殊的检验角度。

要提防的错误

错误做法： (sin x + cos x) / cos x = sin x + 1

学生把分子和分母里的 cos x 约掉了。

用 x = 45° 测试：左边是 (0.707 + 0.707) / 0.707 = 2，而 sin 45° + 1 = 1.707。

两者不同。正确做法是拆开分数：sin x / cos x + cos x / cos x = tan x + 1。在 45° 时得 1 + 1 = 2。

合法约分时，因式是明确写出来的：(sin x cos x + cos²x) / cos x = cos x (sin x + cos x) / cos x = sin x + cos x，其中 cos x ≠ 0。

自我检测

1. (sin x + 2) / 2 = sin x + 1 吗？用 x = 90° 检验，如有错请更正。

2. 化简 (sin x cos x − cos²x) / cos x。

3. 有学生写 (sin²x + 4) / (sin x + 2) = sin x + 2。用 x = 30° 检验，判断是否成立。

接下来学什么

掌握合法约分后，用综合练习试试整个模块，并把出错的地方记入错题记录与重测队列。免计算器演算训练器提供额外的代数练习。

因为一行看似整齐、实际错误的约分而丢分，自己很难发现。一对一线上附加数学补习的老师会逐行看你的演算，指出是哪一步不能约。