用恒等式改写，就是把式子的一部分换成与它相等的三角表达式，使整体更简单。它出现在化简题、“用某函数表示”的题，以及大多数证明和方程的开头。关键是熟悉这组不多的恒等式，以及每一条可以替换什么。
这一课属于三角恒等式模块。
要用哪些恒等式来改写？
从一个事实出发：对任何角度，sin²x + cos²x = 1。由此可得三种常用替换。
- sin²x = 1 − cos²x
- cos²x = 1 − sin²x
- 把主恒等式除以 cos²x，得 1 + tan²x = sec²x；除以 sin²x，得 1 + cot²x = cosec²x
你还需要这些定义：tan x = sin x / cos x，sec x = 1 / cos x，cosec x = 1 / sin x，cot x = cos x / sin x。
怎么选择替换？
- 先定目标。 题目要的是只含一种函数，还是更简单的分数？
- 找出可以换的平方项。 sin、cos、tan、sec、cosec、cot 的平方都是候选。
- 用对应的恒等式替换。 把括号写清楚，让符号正确带下去。
- 展开并合并。 最后用普通代数收尾。如果出现 sin x 的二次式，可以像普通二次式一样处理（见二次结构探索器）。
例题
用只含 sin θ 的式子表示 5cos²θ + 2sin²θ。
第 1 步，目标： 只能留下 sin θ，所以必须替换 cos²θ。
第 2 步，替换： cos²θ = 1 − sin²θ，式子变成 5(1 − sin²θ) + 2sin²θ。
第 3 步，展开： 5 − 5sin²θ + 2sin²θ。
第 4 步，合并： 5 − 3sin²θ。
用 θ = 30° 检查：原式为 5 × 0.75 + 2 × 0.25 = 4.25，答案为 5 − 3 × 0.25 = 4.25，两者一致。
要提防的错误
常见的失误是用恒等式时丢掉平方。
错误做法： 1 − sin²x = cos x
学生记成了“1 减正弦平方等于余弦”，丢掉了指数。
用 x = 60° 测试：1 − sin²60° = 0.25，但 cos 60° = 0.5，两者不同。正确的说法是 1 − sin²x = cos²x，因为 0.25 = 0.5²。只要你移项整理 sin²x + cos²x = 1，平方就必须保留。
自我检测
1. 把 4 − 4cos²x 写成单独一项。
显示答案
4 − 4cos²x = 4(1 − cos²x) = 4sin²x。
2. 用 sec x 表示 2tan²x + 3。
显示答案
tan²x = sec²x − 1，所以 2(sec²x − 1) + 3 = 2sec²x − 2 + 3 = 2sec²x + 1。
3. 已知 sin θ = 3/5，θ 是锐角，求 cos θ 和 tan θ。
显示答案
cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25。θ 是锐角，cos θ 为正，所以 cos θ = 4/5。于是 tan θ = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4。
接下来学什么
改写熟练后，继续学证明恒等式，但不能假设结论，它会一行一行地用到同样的替换。免计算器演算训练器适合用来练习不靠计算器的代数。
有些学生上课每一步都跟得上，面对空白的题目却不知从哪里换起。一对一线上附加数学补习的老师可以陪你练习怎么选恒等式。