这十一道原创题从改写单个式子，逐步进入完整证明和排除值。它们涵盖三角恒等式模块的每一课。请在纸上按顺序做，有了自己的最后一行之后再打开解答。
每题都有完整解答。用错题记录与重测队列记下任何失误，几天后再回头重做。想要第二种检查方法时，可以用三角形与方位角推理板和免计算器演算训练器。
题目
1. 化简 7sin²x + 7cos²x。
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7(sin²x + cos²x) = 7 × 1 = 7。
2. 只用 sin x 表示 3cos²x + 4sin²x。
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把 cos²x 换成 1 − sin²x：3(1 − sin²x) + 4sin²x = 3 − 3sin²x + 4sin²x = 3 + sin²x。
在 x = 30° 检查：原式 3 × 0.75 + 4 × 0.25 = 3.25。答案 3 + 0.25 = 3.25。
3. 已知 cos θ = 5/13，θ 是锐角，求 sin θ 和 tan θ。
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sin²θ = 1 − 25/169 = 144/169。θ 是锐角，sin θ 为正：sin θ = 12/13。
tan θ = (12/13) ÷ (5/13) = 12/5。
4. 化简 (sec²x − 1) cos²x。
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sec²x − 1 = tan²x，所以式子为 tan²x cos²x = (sin²x / cos²x) × cos²x = sin²x。
在 cos x ≠ 0 时成立。
5. 已知 tan x = 2，求 (3 sin x − cos x) / (sin x + 2 cos x) 的值。
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分子分母同除以 cos x：(3 tan x − 1) / (tan x + 2) = (6 − 1) / (2 + 2) = 5/4。
用三角形核对：sin x = 2/√5，cos x = 1/√5。分子 = 6/√5 − 1/√5 = 5/√5。分母 = 2/√5 + 2/√5 = 4/√5。比值为 5/4。
6. 已知 sin θ = −3/5 且 180° < θ < 270°，求 cos θ 和 tan θ。
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cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25，所以 cos θ = ±4/5。在第三象限，余弦为负：cos θ = −4/5。
tan θ = (−3/5) ÷ (−4/5) = 3/4。
7. 证明 tan²x − sin²x ≡ tan²x sin²x。
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左边 = sin²x / cos²x − sin²x = sin²x (1/cos²x − 1) = sin²x (1 − cos²x) / cos²x = sin²x × sin²x / cos²x = sin²x × tan²x = tan²x sin²x。
在 x = 60° 检查：左边 = 3 − 0.75 = 2.25。右边 = 3 × 0.75 = 2.25。
8. 证明 cos x / (1 − sin x) ≡ (1 + sin x) / cos x，并写出在 0° ≤ x ≤ 360° 内它成立的 x 值。
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左边分子分母同乘 (1 + sin x)：cos x (1 + sin x) / (1 − sin²x) = cos x (1 + sin x) / cos²x = (1 + sin x) / cos x。
左边在 sin x = 1 时无定义，即 x = 90°。右边在 cos x = 0 时无定义，即 x = 90° 和 270°。恒等式除了 x = 90° 和 270° 之外都成立。
9. 证明 1 / (sin x cos x) − cot x ≡ tan x，并写出在 0° ≤ x ≤ 360° 内的排除值。
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左边 = 1 / (sin x cos x) − cos x / sin x = [1 − cos²x] / (sin x cos x) = sin²x / (sin x cos x) = sin x / cos x = tan x。
左边要求 sin x ≠ 0 且 cos x ≠ 0。排除值：x = 0°、90°、180°、270°、360°。
在 x = 45° 检查：1 / 0.5 − 1 = 1，而 tan 45° = 1。
10. 有学生写 (1 + sin²x) / (1 + sin x) = 1 + sin x。用 x = 30° 检验，判断是否成立，并写出 (1 − sin²x) / (1 − sin x) 的正确化简。
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在 x = 30° 时：左边 = 1.25 / 1.5 ≈ 0.833，而 1 + sin x = 1.5。不成立：1 + sin²x 不等于 (1 + sin x)(1 + sin x)。
正确的版本：1 − sin²x = (1 − sin x)(1 + sin x)，所以 (1 − sin²x) / (1 − sin x) = 1 + sin x，在 sin x ≠ 1 时成立。在 30° 检查：0.75 / 0.5 = 1.5。
11. 证明 (1 + sec x) / (sin x + tan x) ≡ cosec x，并写出在 0° ≤ x ≤ 360° 内的排除值。
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改写成 sin 和 cos：分子 = 1 + 1/cos x = (cos x + 1) / cos x。分母 = sin x + sin x / cos x = sin x (cos x + 1) / cos x。
分数变成 [(cos x + 1) / cos x] ÷ [sin x (cos x + 1) / cos x] = (cos x + 1) / [sin x (cos x + 1)] = 1 / sin x = cosec x。
原式要求 cos x ≠ 0，所以排除 90° 和 270°。分母 sin x + tan x 在 sin x = 0 或 cos x = −1 时为零，得 0°、180° 和 360°。排除值：0°、90°、180°、270°、360°。
在 x = 60° 检查：3 / 2.598 ≈ 1.155，而 cosec 60° ≈ 1.155。
如果做错了
| 错误类型 | 题号 | 回到哪一课 |
|---|---|---|
| 恒等式用错或漏掉平方 | 1 至 4 | 用基本恒等式改写式子 |
| 证明两边同时处理或卡住 | 7、8、9、11 | 证明恒等式，但不能假设结论 |
| 用了长方法、根号，或象限符号错误 | 5、6 | 代入前先化简 |
| 漏写或写不全排除值 | 8、9、11 | 写出三角恒等式的排除值 |
| 非法约分 | 10 | 找出无效的约分 |
怎样复盘这份练习？
先把做错的题分成两类：方法选错，和方法对但代数出错。前者回到对应的课文，重读“要提防的错误”一节；后者用免计算器演算训练器多做几道同类的代数。
一周后，不看解答把做错的题再做一遍。每道题都用 30° 或 45° 检验自己的最后一行，再写出排除值。如果第二次仍然卡在第一行，说明问题是选择方向，而不是计算。
接下来做什么
当大部分题目都稳了，回到三角恒等式，再继续学方程。如果某种题型总是难住你，可以在一对一线上附加数学补习中向老师描述它。