Sebelas soalan asli ini bergerak daripada menulis semula satu ungkapan kepada pembuktian penuh dan nilai terkecuali. Ia merangkumi setiap pelajaran dalam identiti trigonometri. Bekerja mengikut susunan di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan selepas anda mempunyai baris akhir sendiri.
Setiap soalan mempunyai jawapan berlangkah. Gunakan log kesilapan dan baris ulang uji untuk mencatat sebarang kesilapan dan kembali kepadanya selepas beberapa hari. Papan penaakulan segi tiga dan bearing dan pelatih kerja tanpa kalkulator membantu apabila anda mahu cara kedua untuk menyemak.
Soalan
1. Permudahkan 7sin²x + 7kos²x.
Tunjukkan jawapan
7(sin²x + kos²x) = 7 × 1 = 7.
2. Tulis 3kos²x + 4sin²x dalam sebutan sin x sahaja.
Tunjukkan jawapan
Gantikan kos²x dengan 1 − sin²x: 3(1 − sin²x) + 4sin²x = 3 − 3sin²x + 4sin²x = 3 + sin²x.
Semak pada x = 30°: asal 3 × 0.75 + 4 × 0.25 = 3.25. Jawapan 3 + 0.25 = 3.25.
3. Diberi kos θ = 5/13 dan θ ialah sudut tirus, cari sin θ dan tan θ.
Tunjukkan jawapan
sin²θ = 1 − 25/169 = 144/169. θ sudut tirus, jadi sin θ positif: sin θ = 12/13.
tan θ = (12/13) ÷ (5/13) = 12/5.
4. Permudahkan (sek²x − 1) kos²x.
Tunjukkan jawapan
sek²x − 1 = tan²x, maka ungkapan ialah tan²x kos²x = (sin²x / kos²x) × kos²x = sin²x.
Sah di mana kos x ≠ 0.
5. Diberi tan x = 2, cari nilai (3 sin x − kos x) / (sin x + 2 kos x).
Tunjukkan jawapan
Bahagi pengangka dan penyebut dengan kos x: (3 tan x − 1) / (tan x + 2) = (6 − 1) / (2 + 2) = 5/4.
Semak dengan segi tiga: sin x = 2/√5, kos x = 1/√5. Pengangka = 6/√5 − 1/√5 = 5/√5. Penyebut = 2/√5 + 2/√5 = 4/√5. Nisbahnya 5/4.
6. Diberi sin θ = −3/5 dan 180° < θ < 270°, cari kos θ dan tan θ.
Tunjukkan jawapan
kos²θ = 1 − 9/25 = 16/25, maka kos θ = ±4/5. Dalam sukuan ketiga, kos negatif: kos θ = −4/5.
tan θ = (−3/5) ÷ (−4/5) = 3/4.
7. Buktikan bahawa tan²x − sin²x ≡ tan²x sin²x.
Tunjukkan jawapan
LHS = sin²x / kos²x − sin²x = sin²x (1/kos²x − 1) = sin²x (1 − kos²x) / kos²x = sin²x × sin²x / kos²x = sin²x × tan²x = tan²x sin²x.
Semak pada x = 60°: LHS = 3 − 0.75 = 2.25. RHS = 3 × 0.75 = 2.25.
8. Buktikan bahawa kos x / (1 − sin x) ≡ (1 + sin x) / kos x, dan nyatakan nilai x dalam 0° ≤ x ≤ 360° yang menjadikannya sah.
Tunjukkan jawapan
Darab pengangka dan penyebut belah kiri dengan (1 + sin x): kos x (1 + sin x) / (1 − sin²x) = kos x (1 + sin x) / kos²x = (1 + sin x) / kos x.
Belah kiri tidak tertakrif apabila sin x = 1, iaitu x = 90°. Belah kanan tidak tertakrif apabila kos x = 0, iaitu x = 90° dan 270°. Identiti sah kecuali pada x = 90° dan 270°.
9. Buktikan bahawa 1 / (sin x kos x) − kot x ≡ tan x, dan nyatakan nilai terkecuali dalam 0° ≤ x ≤ 360°.
Tunjukkan jawapan
LHS = 1 / (sin x kos x) − kos x / sin x = [1 − kos²x] / (sin x kos x) = sin²x / (sin x kos x) = sin x / kos x = tan x.
Belah kiri memerlukan sin x ≠ 0 dan kos x ≠ 0. Nilai terkecuali: x = 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Semak pada x = 45°: 1 / 0.5 − 1 = 1, dan tan 45° = 1.
10. Seorang pelajar menulis (1 + sin²x) / (1 + sin x) = 1 + sin x. Uji dengan x = 30°, tentukan sama ada ia sah dan tunjukkan permudahan yang betul bagi (1 − sin²x) / (1 − sin x).
Tunjukkan jawapan
Pada x = 30°: belah kiri = 1.25 / 1.5 ≈ 0.833, tetapi 1 + sin x = 1.5. Tidak sah: 1 + sin²x bukan (1 + sin x)(1 + sin x).
Bagi versi yang betul, 1 − sin²x = (1 − sin x)(1 + sin x), maka (1 − sin²x) / (1 − sin x) = 1 + sin x, sah bagi sin x ≠ 1. Semak pada 30°: 0.75 / 0.5 = 1.5.
11. Buktikan bahawa (1 + sek x) / (sin x + tan x) ≡ kosek x, dan nyatakan nilai terkecuali dalam 0° ≤ x ≤ 360°.
Tunjukkan jawapan
Tulis dalam sin dan kos: pengangka = 1 + 1/kos x = (kos x + 1) / kos x. Penyebut = sin x + sin x / kos x = sin x (kos x + 1) / kos x.
Pecahan menjadi [(kos x + 1) / kos x] ÷ [sin x (kos x + 1) / kos x] = (kos x + 1) / [sin x (kos x + 1)] = 1 / sin x = kosek x.
Ungkapan asal memerlukan kos x ≠ 0, jadi 90° dan 270° dikecualikan. Penyebut sin x + tan x sifar apabila sin x = 0 atau kos x = −1, memberi 0°, 180° dan 360°. Nilai terkecuali: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Semak pada x = 60°: 3 / 2.598 ≈ 1.155, dan kosek 60° ≈ 1.155.
Jika anda tersilap
| Jenis kesilapan | Soalan | Pergi ke |
|---|---|---|
| Identiti salah atau tertinggal kuasa dua | 1 hingga 4 | Guna identiti asas untuk menulis semula ungkapan |
| Bukti bergerak dua hala atau tersekat | 7, 8, 9, 11 | Buktikan identiti tanpa menganggap jawapan akhir |
| Kaedah panjang, surd atau tanda sukuan yang salah | 5, 6 | Permudahkan ungkapan sebelum penggantian |
| Nilai terkecuali tertinggal atau tidak lengkap | 8, 9, 11 | Nyatakan nilai terkecuali dalam identiti trigonometri |
| Pembatalan haram | 10 | Kenal pasti pembatalan yang tidak sah |
Ke mana seterusnya?
Apabila kebanyakan soalan ini terasa mantap, kembali ke identiti trigonometri dan teruskan ke persamaan. Jika satu jenis soalan terus menyukarkan anda, seorang guru boleh menyemak cara anda memilih kaedah dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.