Memudahkan sebelum menggantikan bermaksud menggunakan identiti atau pembahagian untuk mengurangkan ungkapan kepada satu nisbah yang telah diberi. Ia menjimatkan masa dan mengelak punca kuasa dua. Kemahiran ini muncul apabila soalan memberi tan x, sin x atau kos x dan meminta nilai ungkapan yang lebih panjang.
Pelajaran ini dibina atas pembuktian identiti dan tergolong dalam identiti trigonometri.
Mengapa ini lebih pendek daripada laluan panjang?
Andaikan tan x = 3 dan anda mahu (2 sin x + kos x) / (sin x − kos x). Laluan panjang mencari sin x = 3/√10 dan kos x = 1/√10, kemudian menggantikan dan membersihkan surd.
Laluan pendek memerhatikan bahawa setiap sebutan mempunyai satu sin atau satu kos. Membahagi pengangka dan penyebut dengan kos x memberi ungkapan dalam tan x sahaja, dan tiada apa lagi yang perlu dicari.
Bagaimana memudahkan dahulu?
- Senaraikan apa yang diberi dan apa yang diperlukan. Contohnya: diberi tan x, perlukan ungkapan bercampur.
- Pilih alat. Bahagi dengan kos x untuk membawa masuk tan x. Guna sin²x + kos²x = 1 untuk mengurangkan kuasa dua. Guna 1 + tan²x = sek²x untuk membawa masuk sek.
- Bahagi atau gantikan setiap sebutan. Jangan lupa penyebut.
- Gantikan nilai yang diberi ke dalam ungkapan yang dipermudahkan.
- Semak dengan segi tiga bersudut tegak, jika masa mengizinkan.
Contoh berlangkah
Diberi tan x = 3, cari nilai (2 sin x + kos x) / (sin x − kos x).
Langkah 1, pilih alat: ungkapan mempunyai satu sin atau kos bagi setiap sebutan, jadi bahagi pengangka dan penyebut dengan kos x.
Langkah 2, bahagi: (2 sin x / kos x + kos x / kos x) / (sin x / kos x − kos x / kos x) = (2 tan x + 1) / (tan x − 1).
Langkah 3, ganti: (2 × 3 + 1) / (3 − 1) = 7 / 2.
Jawapan: 7/2.
Semak dengan segi tiga: tan x = 3 memberi sisi bertentangan 3, bersebelahan 1 dan hipotenus √10. Maka sin x = 3/√10 dan kos x = 1/√10, jadi ungkapan ialah (6/√10 + 1/√10) / (3/√10 − 1/√10) = 7/2. Kedua-dua kaedah memberi jawapan yang sama.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah membaca tan x = 3 sebagai sin x = 3 dan kos x = 1.
Penyelesaian yang silap: tan x = 3, maka sin x = 3 dan kos x = 1. Jadi sin x kos x = 3 × 1 = 3.
Pelajar menggunakan nisbah seolah-olah ia panjang sisi.
Bagi contoh di atas, kesilapan ini memberi jawapan betul secara kebetulan, kerana setiap sebutan mempunyai darjah yang sama.
Bagi sin x kos x ia memberi 3, yang mustahil: sin x kos x tidak boleh melebihi 1/2. Laluan yang betul ialah sin x kos x = tan x kos²x = tan x / (1 + tan²x) = 3/10, kerana 1/kos²x = 1 + tan²x. Semakan segi tiga memberi (3/√10)(1/√10) = 3/10.
Semak sendiri
1. Diberi tan x = 1/2, cari (sin x − kos x) / (sin x + kos x).
Tunjukkan jawapan
Bahagi dengan kos x: (tan x − 1) / (tan x + 1) = (1/2 − 1) / (1/2 + 1) = (−1/2) / (3/2) = −1/3.
2. Permudahkan sin x / (1 − kos²x).
Tunjukkan jawapan
1 − kos²x = sin²x, maka ungkapan ialah sin x / sin²x = 1 / sin x = kosek x (bagi sin x ≠ 0).
3. Diberi sin x = 0.6 dan x ialah sudut cakah, cari kos x dan tan x.
Tunjukkan jawapan
kos²x = 1 − 0.36 = 0.64, maka kos x = ±0.8. Sudut cakah mempunyai kos negatif, jadi kos x = −0.8. Kemudian tan x = 0.6 / (−0.8) = −0.75.
Ke mana seterusnya?
Seterusnya, nyatakan nilai terkecuali dalam identiti trigonometri, kerana pembahagian dengan kos x dalam pelajaran ini secara senyap menganggap kos x ≠ 0. Pelatih kerja tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik berguna untuk algebra.
Jika anda kerap memilih kaedah yang lebih panjang dahulu, guru kami menunjukkan cara mengimbas soalan untuk jalan pintas dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.