Untuk membuktikan identiti, ambil satu belah dan gunakan pernyataan yang benar, baris demi baris, sehingga ia menjadi belah yang satu lagi. Soalan memberi destinasi, jadi tugas anda ialah laluannya. Kemahiran ini kerap muncul dalam bahagian trigonometri Matematik Tambahan, biasanya dengan kata “tunjukkan bahawa” atau “buktikan bahawa”.
Pelajaran ini menyambung menggunakan identiti asas untuk menulis semula ungkapan dan terletak dalam identiti trigonometri.
Mengapa bermula daripada jawapan tidak selamat?
Andaikan anda mahu membuktikan −1 = 1, yang salah. Kuasa duakan kedua-dua belah dan anda mendapat 1 = 1, yang benar. Rantaian langkah yang kelihatan betul telah menukar pernyataan salah menjadi benar, kerana kuasa dua tidak boleh diterbalikkan.
Perkara yang sama boleh berlaku dalam pembuktian trigonometri. Jika anda bermula daripada “LHS = RHS” dan bekerja pada kedua-dua belah, anda mungkin berakhir dengan pernyataan benar tanpa membuktikan pernyataan pertama. Bekerja pada satu belah sahaja menghapuskan risiko itu.
Bagaimana membina pembuktian?
- Pilih belah yang lebih banyak perkara berlaku. Pecahan, fungsi bercampur dan kurungan menandakan belah yang perlu dipermudahkan.
- Tukar kepada sin x dan kos x apabila tiada yang lebih jelas. tan, kot, sek dan kosek semuanya menjadi pecahan sin x dan kos x.
- Gabungkan pecahan dengan penyebut sepunya. Kekalkan kurungan.
- Cari identiti. Ungkapan seperti sin²x + kos²x atau 1 − kos²x ialah isyarat untuk menukar.
- Faktorkan dan batalkan faktor sepunya. Batalkan hanya faktor bagi keseluruhan pengangka dan penyebut.
- Berakhir dengan belah yang satu lagi. Tulis setiap baris supaya baris berikutnya mengikutinya.
Contoh berlangkah
Buktikan bahawa (1 + kos x) / sin x + sin x / (1 + kos x) ≡ 2 / sin x.
Mulakan dengan belah kiri. Guna penyebut sepunya sin x (1 + kos x):
[(1 + kos x)² + sin²x] / [sin x (1 + kos x)]
Kembangkan kurungan: (1 + kos x)² = 1 + 2kos x + kos²x, maka pengangka ialah 1 + 2kos x + kos²x + sin²x.
Guna sin²x + kos²x = 1: pengangka menjadi 1 + 2kos x + 1 = 2 + 2kos x = 2(1 + kos x).
Batalkan faktor sepunya (1 + kos x):
2(1 + kos x) / [sin x (1 + kos x)] = 2 / sin x
Ini ialah belah kanan, maka identiti terbukti. Semakan pada x = 60°: belah kiri ialah 1.5 / 0.866 + 0.866 / 1.5 ≈ 1.732 + 0.577 = 2.309, dan 2 / sin 60° ≈ 2.309.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menulis identiti sebagai persamaan dan mengolah kedua-dua belah.
Penyelesaian yang silap: Darab silang (1 + kos x)² + sin²x = 2(1 + kos x) kemudian permudahkan kedua-dua belah sehingga sama.
Pelajar bermula dengan menganggap kedua-dua belah sudah sama.
Pembetulannya ialah memilih belah kiri, mengubahnya seorang diri dan sampai ke belah kanan. Logik mesti bergerak ke hadapan: baris pertama ialah sesuatu yang anda tahu, baris terakhir ialah apa yang dikehendaki. Jika anda benar-benar perlu bekerja pada kedua-dua belah, setiap langkah mesti boleh diterbalikkan dan anda perlu menyatakannya, tetapi bukti satu belah ialah tabiat yang lebih selamat.
Semak sendiri
1. Buktikan bahawa tan x + kot x ≡ sek x kosek x.
Tunjukkan jawapan
LHS = sin x / kos x + kos x / sin x = (sin²x + kos²x) / (sin x kos x) = 1 / (sin x kos x) = (1 / kos x)(1 / sin x) = sek x kosek x.
2. Buktikan bahawa sin⁴x − kos⁴x ≡ sin²x − kos²x.
Tunjukkan jawapan
LHS = (sin²x − kos²x)(sin²x + kos²x) = (sin²x − kos²x) × 1 = sin²x − kos²x.
3. Buktikan bahawa kos²x − sin²x ≡ 2kos²x − 1.
Tunjukkan jawapan
Gantikan sin²x dengan 1 − kos²x: LHS = kos²x − (1 − kos²x) = kos²x − 1 + kos²x = 2kos²x − 1.
Ke mana seterusnya?
Seterusnya, permudahkan ungkapan sebelum penggantian untuk melihat bagaimana identiti yang sama memudahkan penilaian. Pelatih kerja tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik membantu algebra dalam pembuktian yang lebih panjang.
Jika langkah anda betul tetapi susunan pembuktian sering tersasar, guru boleh menyemak kerja bertulis anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.