为什么有时会得到两个 k 值？

如果 k 以平方或其他偶数次幂出现，正值和负值都满足方程。对于 k² = 9，k = 3 或 k = −3。除非题目限制了 k，例如说明 k 为正数，否则两个都要写出。

题目说两个系数相等，该怎么做？

用通项为每个系数写出表达式，令两者相等再求解。如果未知数可能为零，要用因式分解，不要直接约去，然后舍去题目排除的值，例如 a = 0。

不要。用通项只写出你需要的那个系数。全部展开会增加工作量和出错机会，而通项直接给你想要的那一个方程。

要求二项式括号中的未知常数，就用通项写出题目所说的系数，令它等于给定的值，然后求解。常数通常以幂的形式出现，所以方程往往是简单的幂方程，如 k² = 9 或 k³ = 8。

这一课建立在求指定的项之上，也是二项式题目里“求 k 的值”这类问法的常见来源。

(2 + kx)⁵ 展开式中 x³ 的系数是 320。求 k 的值。

第一步，通项： 5Cr × 2⁵⁻ʳ × (kx)ʳ。

第二步，求 r： x 的幂是 r，所以 r = 3。

第三步，系数： 5C3 × 2² × k³ = 10 × 4 × k³ = 40k³。

第四步，方程： 40k³ = 320。

第五步，求解： k³ = 8，所以 k = 2。

检验： 当 k = 2，x³ 的系数是 40 × 8 = 320，与题目相符。

假设 (1 + ax)⁶ 中 x² 和 x³ 的系数相等，且 a ≠ 0。x² 的系数是 6C2 a² = 15a²。x³ 的系数是 6C3 a³ = 20a³。

令两者相等得 15a² = 20a³，所以 a²(20a − 15) = 0。因为 a ≠ 0，a = 15/20 = 3/4。

常见的失误是在列方程时漏掉括号里的数字部分。

错误做法： 5C3 × k³ = 320，所以 10k³ = 320，k³ = 32

学生忘了括号中常数 2 带来的因数 2² = 4。真正的系数是 40k³，不是 10k³。

改正的方法是在化简之前写出这一项的每个因数：nCr、数字的幂和字母的幂。再用代回检验：如果 k³ = 32 得不到整数的立方，那就是有因数漏掉的线索。

先试做，再打开答案核对。

1. (1 + kx)⁴ 中 x² 的系数是 54，且 k > 0。求 k。

查看答案

4C2 k² = 6k² = 54，所以 k² = 9。因为 k > 0，k = 3。

2. 在 (2 + ax)⁴ 的展开式中，x 和 x² 的系数相等，且 a ≠ 0。求 a。

查看答案

x 的系数：4C1 × 2³ × a = 4 × 8 × a = 32a。x² 的系数：4C2 × 2² × a² = 6 × 4 × a² = 24a²。令 32a = 24a²，得 24a² − 32a = 0，所以 8a(3a − 4) = 0。因为 a ≠ 0，a = 4/3。

3. (x + k)⁶ 中 x⁴ 的系数是 240。求 k 的可能值。

查看答案

x⁴ 对应 6 − r = 4，所以 r = 2。系数是 6C2 k² = 15k² = 240，所以 k² = 16。于是 k = 4 或 k = −4。

负的常数会带来自己的风险，所以接着学习追踪正负交替展开中的符号。准备好把所有技能混合练习时，试试二项式展开练习题组。

如果你会解方程，却不知道怎样列出方程，附加数学线上一对一补习的老师可以看你怎样设定，当场纠正。