怎么知道该用哪个 r 值？

把想要的幂与带有 x 的那个部分的幂对应起来。求 (3x + 2)⁷ 中的 x⁴，(3x) 的幂是 n − r，所以 7 − r = 4，r = 3。在乘任何数字之前，先检查所选的 r 是否给出题目要求的幂。

含 x³ 的项就是第三项吗？

通常不是。r = 0 的是第一项，所以对应 r 的是第 (r + 1) 项。x³ 是不是第三项要看括号的排列，所以要从幂去求 r，而不是从位置去数。

项包含 x 的幂，例如 22680x⁴。系数只是前面的数字，即 22680。仔细读题，问哪个就答哪个。

要求 (a + b)ⁿ 的某一项，用通项（general term）：nCr × aⁿ⁻ʳ × bʳ。选择 r，使 x 的幂正好是你想要的，然后只计算这一项。当 n 较大时，例如问 7 次幂中的 x⁴，这样能省下很多行。

如果完整展开还不够稳，先复习展开正整数次幂。

含 bʳ 的那一项是第 (r + 1) 项，因为 r 从 0 开始。它等于 nCr × aⁿ⁻ʳ × bʳ，其中 nCr 是二项式系数，可以用计算器的 nCr 键得到。

a 和 b 的幂相加永远等于 n。所以知道其中一个部分的幂，另一个就随之而定，r 也就容易求出。

求 (3x + 2)⁷ 展开式中 x⁴ 的系数。

第一步，通项： nCr (3x)⁷⁻ʳ (2)ʳ = 7Cr (3x)⁷⁻ʳ 2ʳ。

第二步，求 r： x 的幂是 7 − r。需要 7 − r = 4，所以 r = 3。

第三步，代入： 7C3 × (3x)⁴ × 2³ = 35 × 81x⁴ × 8。

第四步，化简： 81 × 8 = 648，35 × 648 = 22 680。

这一项是 22 680x⁴，所以 x⁴ 的系数是 22 680。

常见的失误是让 r 等于想要的幂，而不是 n 减去那个幂。

错误做法： r = 4，所以 7C4 × (3x)³ × 2⁴ = 35 × 27x³ × 16 = 15 120x³

学生因为题目说 x⁴ 就设 r = 4。这得到的是 x³ 的项，不是 x⁴，所以 x 的幂错了，系数也错了。

改正的方法是问：哪个部分带有 x，它的幂是多少？这里 (3x) 的幂是 7 − r，不是 r。在乘数字之前，先问一句“这样会得到 x⁴ 吗？”来测试你的 r。

先试做，再打开答案核对。

1. 求 (1 + 2x)⁶ 中 x³ 的系数。

查看答案

通项：6Cr × 1⁶⁻ʳ × (2x)ʳ。x³ 对应 r = 3。所以 6C3 × 2³ = 20 × 8 = 160。

2. 求 (x + 4)⁵ 中 x² 的系数。

查看答案

通项：5Cr × x⁵⁻ʳ × 4ʳ。x² 对应 5 − r = 2，所以 r = 3。于是 5C3 × 4³ = 10 × 64 = 640。

3. 求 (x + 3)⁶ 展开式（按 x 的降幂排列）的第三项。

查看答案

第三项的 r = 2。所以 6C2 × x⁴ × 3² = 15 × 9 × x⁴ = 135x⁴。

接下来，看看已知的系数如何帮你求出未知数，见比较系数以确定常数。你也可以回到本单元总览查看整条学习路线。

如果完整展开没问题，但题目只问一项时不知从何下手，附加数学线上一对一补习的老师可以带你练习由 x 的幂反推 r。