要展开 (a − b)ⁿ，把它看作 (a + (−b))ⁿ，并把负号保留在括号内。这样 (−b)ʳ 在 r 为奇数时为负，r 为偶数时为正，各项的符号就会交替。
规律与展开正整数次幂一样。唯一新增的工作是把负数正确地取幂。
符号是怎么变化的？
对于按 a 的降幂书写的 (a − b)ⁿ，含 bʳ 那一项的符号是 (−1)ʳ。所以第一项为正，第二项为负，第三项为正，以此类推。
当第二部分的幂是偶数时，符号为正；是奇数时，符号为负。看一眼每一项的幂，不用多想就知道它的符号。
处理负数部分的排版
- 改写括号，让负号附在第二部分上：(2x + (−3))⁴。
- 写出通项，把 (−3) 放进括号：4Cr (2x)⁴⁻ʳ (−3)ʳ。
- 先算出 (−3)ʳ：1, −3, 9, −27, 81。
- 相乘：系数、2x 的幂，以及这个带符号的数。
- 检查规律：符号应当交替出现 + − + − +。
例题详解
展开 (2x − 3)⁴。
第一步，系数： 1, 4, 6, 4, 1。
第二步，各项：
- r = 0：1 × (2x)⁴ × 1 = 16x⁴
- r = 1：4 × (2x)³ × (−3) = 4 × 8x³ × (−3) = −96x³
- r = 2：6 × (2x)² × 9 = 6 × 4x² × 9 = 216x²
- r = 3：4 × (2x) × (−27) = −216x
- r = 4：1 × 1 × 81 = 81
第三步，相加：
(2x − 3)⁴ = 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81
第四步，用 x = 1 检验： 左边是 (2 − 3)⁴ = (−1)⁴ = 1。右边是 16 − 96 + 216 − 216 + 81 = 1。两边一致。
要留意的错误
典型的失误是把数字平方了，却保留了负号。
错误做法： 6 × (2x)² × (−3)² = 6 × 4x² × (−9) = −216x²
学生把 (−3)² 写成 −9。实际上 (−3)² = (−3) × (−3) = 9，所以这一项应该是 +216x²。
改正的方法是在相乘之前，把每个带符号的幂各自写一行算出来。负数的偶数次幂永远为正。如果用了错误的这一项，在 x = 1 时检验会得到 −431 而不是 1，错误就暴露了。
自我检测
先试做，再打开答案核对。
1. 展开 (x − 2)⁵。
查看答案
系数 1, 5, 10, 10, 5, 1，−2 的带符号幂：1, −2, 4, −8, 16, −32。
x⁵ − 10x⁴ + 40x³ − 80x² + 80x − 32
用 x = 1 检验：(−1)⁵ = −1，而 1 − 10 + 40 − 80 + 80 − 32 = −1。
2. 展开 (1 − 3x)³。
查看答案
系数 1, 3, 3, 1。各项：1；3 × (−3x) = −9x；3 × 9x² = 27x²；(−3x)³ = −27x³。
1 − 9x + 27x² − 27x³
用 x = 1 检验：(−2)³ = −8，而 1 − 9 + 27 − 27 = −8。
3. 求 (2 − x)⁶ 中 x³ 的系数。
查看答案
通项：6Cr × 2⁶⁻ʳ × (−x)ʳ。x³ 对应 r = 3。所以 6C3 × 2³ × (−1)³ = 20 × 8 × (−1) = −160。
下一步
快速检验是防止符号错误最有力的保护，所以接着学习用简单代入法检验展开式。二项式展开练习题组会把符号与其他所有技能混合起来。
如果你的方法没错，却总在符号上失分，附加数学线上一对一补习的老师可以看你的作答，找出符号最常在哪一步出错。