这组题混合了二项式展开的每一项技能：完整展开、单独一项、未知常数、负数部分和代入检验。题目都是原创的，由易到难排列。
打开每个答案之前，先在纸上写出你的解题过程。化简之前，每一项的各个部分都保留括号，并在可能时用 x = 1 检验每个展开式。无计算器运算训练适合用来练习精确运算。
题目与详解
1. 展开 (x + 1)⁴。
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系数 1, 4, 6, 4, 1，而 1 的任何次幂都是 1。
x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1
用 x = 1 检验：2⁴ = 16，而 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16。
2. 写出幂为 7 的二项式系数，并检查它们的和。
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帕斯卡三角形中每个数是上面两数之和，从幂为 6 的一行 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 开始。
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
总和是 128 = 2⁷。
3. 展开 (2x + 1)⁴。
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系数 1, 4, 6, 4, 1。各项：(2x)⁴ = 16x⁴；4 × (2x)³ = 4 × 8x³ = 32x³；6 × (2x)² = 6 × 4x² = 24x²；4 × 2x = 8x；1。
16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1
用 x = 1 检验：3⁴ = 81，而 16 + 32 + 24 + 8 + 1 = 81。
4. 展开 (x − 3)³。
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系数 1, 3, 3, 1，−3 的带符号幂：1, −3, 9, −27。各项：x³；3 × x² × (−3) = −9x²；3 × x × 9 = 27x；−27。
x³ − 9x² + 27x − 27
用 x = 1 检验：(−2)³ = −8，而 1 − 9 + 27 − 27 = −8。
5. 求 (1 + 2x)⁷ 展开式中 x³ 的系数。
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通项：7Cr × (2x)ʳ。x³ 对应 r = 3。所以 7C3 × 2³ = 35 × 8 = 280。
6. 求 (2 − x)⁵ 展开式中 x³ 的系数。
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通项：5Cr × 2⁵⁻ʳ × (−x)ʳ。x³ 对应 r = 3。所以 5C3 × 2² × (−1)³ = 10 × 4 × (−1) = −40。
7. 求 (1 + 3x)⁸ 按 x 的升幂排列的前三项，并用它们估算 1.003⁸，精确到小数点后 3 位。
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各项：1；8C1 × 3x = 24x；8C2 × (3x)² = 28 × 9x² = 252x²。所以前三项是 1 + 24x + 252x²。
代入 x = 0.001：1 + 0.024 + 0.000252 = 1.024252。精确到小数点后 3 位，1.003⁸ ≈ 1.024。省略的项非常小，所以这个估算是可靠的。
8. (1 + kx)⁶ 中 x² 的系数是 135，且 k > 0。求 k。
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6C2 × k² = 15k² = 135，所以 k² = 9。因为 k > 0，k = 3。
9. 求 (x + 2/x)⁶ 展开式中不含 x 的项（term independent of x）。
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通项：6Cr × x⁶⁻ʳ × (2/x)ʳ = 6Cr × 2ʳ × x⁶⁻²ʳ。当 6 − 2r = 0 时 x 的幂为 0，所以 r = 3。于是 6C3 × 2³ = 20 × 8 = 160。
10. 求 (2x − 3)⁵ 展开式中 x³ 的系数。
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通项：5Cr × (2x)⁵⁻ʳ × (−3)ʳ。x³ 对应 5 − r = 3，所以 r = 2。于是 5C2 × (2x)³ × (−3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³。系数是 720。因为 r 为偶数，符号为正。
11. 在 (1 + ax)⁷ 的展开式中，x² 和 x³ 的系数相等，且 a ≠ 0。求 a。
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x² 的系数：7C2 a² = 21a²。x³ 的系数：7C3 a³ = 35a³。令两者相等：35a³ − 21a² = 0，所以 7a²(5a − 3) = 0。因为 a ≠ 0，a = 3/5。
检验：21 × 9/25 = 189/25，而 35 × 27/125 = 945/125 = 189/25。
12. 一名学生写出 (x − 2)⁴ = x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x − 16。用 x = 0 和 x = 1 说明它是错的，并加以改正。
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x = 0 时括号得 (−2)⁴ = 16，但学生的常数项是 −16。x = 1 时括号得 (−1)⁴ = 1，但学生的各项得 1 − 8 + 24 − 32 − 16 = −31。两项检验都不通过。
最后一项应该是 (−2)⁴ = +16，因为负数的偶数次幂为正。改正后的展开式是 x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16。x = 1 时：1 − 8 + 24 − 32 + 16 = 1，与括号一致。
如果你做错了
- x 的某次幂的系数错误，例如把 8x³ 写成 2x³（第 3、5、10 题）：复习展开正整数次幂。
- 选错项或 r 错误（第 5、9、10 题）：复习求指定的项。
- 无法为 k 或 a 列出方程（第 8、11 题）：复习比较系数以确定常数。
- 符号错误（第 4、6、10、12 题）：复习追踪正负交替展开中的符号。
- 没有检验，或检验失败却不知道原因（第 1、3、12 题）：复习用简单代入法检验展开式。
把每个失误记录在错题记录与重测队列中，几天后再做一道类似的题。想从更大的角度回顾这个课题，请回到本单元总览。
如果复习之后同一类展开题还是出错，附加数学线上一对一补习的老师可以看你的作答，找出问题出在哪一步。