为什么 x = 1 可以用来检验？

展开式对每一个 x 值都与原来的括号相等。代入 x = 1 会让每个 x 的幂都变成 1，所以系数之和必须等于括号在 x = 1 时的值。如果不一致，说明某处有错。

检验通过了，答案还可能是错的吗？

可能。两个错误可能互相抵消，或者错误没有改变总和，例如两项位置对调。所以通过只能增加信心，并不能证明答案正确。同时使用 x = 1 和 x = −1 两种检验，出错而不被发现的机会会小得多。

用 x = 1 得到系数之和，用 x = −1 检验符号，用 x = 0 检验常数项。选一个让括号容易心算的值，因为检验应该只花几秒钟。

要检验展开式，把一个简单的 x 值同时代入原来的括号和你的答案。两者必须得到同一个数。最方便的选择是 x = 1、x = −1 和 x = 0。

这一课建立在追踪符号之上，可以用于系统展开幂得到的任何展开式。

每一种检验都是可以在脑中或草稿边上完成的简短运算。

一名学生展开 (3x − 1)⁴，写出 81x⁴ − 108x³ + 54x² − 12x + 1。检验它。

用 x = 1 检验： 括号得 (3 − 1)⁴ = 2⁴ = 16。展开式得 81 − 108 + 54 − 12 + 1 = 16。一致。

用 x = −1 检验： 括号得 (−3 − 1)⁴ = (−4)⁴ = 256。展开式得 81 + 108 + 54 + 12 + 1 = 256。又一致。

用 x = 0 检验： 括号得 (−1)⁴ = 1，常数项是 1。

三项检验都通过，所以这个展开式可以信任。

检验在出错时最有用。

错误的展开式： 81x⁴ − 12x³ + 54x² − 12x + 1

这里学生把 x³ 的系数写成 −12，而不是 −108。在 x = 1 时，展开式得 81 − 12 + 54 − 12 + 1 = 112，但括号得 16。

不一致只告诉你有错，不告诉你在哪里。重新检查每一项：这里 4 × (3x)³ × (−1) = 4 × 27x³ × (−1) = −108x³。学生用了 3x³ 而不是 (3x)³，和第一课中的失误相同。

先试做，再打开答案核对。

1. 不展开，(2x + 1)⁵ 的系数之和是多少？

查看答案

代入 x = 1：(2 + 1)⁵ = 3⁵ = 243。

2. 不展开 (x − 2)⁷，求它的系数之和，以及它在 x = −1 时的值。

查看答案

x = 1 时：(1 − 2)⁷ = (−1)⁷ = −1。x = −1 时：(−1 − 2)⁷ = (−3)⁷ = −2187。

3. 一名学生声称 (x + 3)⁴ = x⁴ + 12x³ + 36x² + 108x + 81。用 x = 1 来检验。

查看答案

括号得 4⁴ = 256。该声称得 1 + 12 + 36 + 108 + 81 = 238。两者不同，所以展开式是错的。x² 的系数应该是 6 × 9 = 54，不是 36。正确的展开式是 x⁴ + 12x³ + 54x² + 108x + 81，总和为 256。

试做完整的二项式展开练习题组，每做完一个展开式就检验一次。把记录保存在错题记录与重测队列中，可以看出检验最常发现哪一类失误。

如果你常常交卷后才发现展开式有错，附加数学线上一对一补习的老师可以陪你把代入检验变成每题必做的习惯。