体积与容量练习题附详解

这套练习有 11 道原创题，由易到难排列。内容涵盖棱柱、圆柱与圆锥、单位换算、反求长度和估算，也就是体积与容量的五项技能。

除非题目另有说明，可以使用计算器。先盖住答案自己做，每一行都写上单位，再打开详解比较方法。除非另有说明，非精确答案取 3 位有效数字。

题目

1. 一个长方体的尺寸是 12 cm × 5 cm × 4 cm。求体积。

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体积 = 12 × 5 × 4 = 60 × 4 = 240 cm³。

2. 一个三棱柱的端面是三角形，底 9 cm，垂直高 4 cm。棱柱长 12 cm。求体积。

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面积 = ½ × 9 × 4 = 18 cm²。体积 = 18 × 12 = 216 cm³。

3. (a) 把 4.2 升写成 cm³。(b) 把 0.36 m³ 写成升。

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(a) 4.2 × 1000 = 4200 cm³。

(b) 1 m³ = 1000 升，所以 0.36 × 1000 = 360 升。

4. 一个圆柱的半径是 5 cm，高是 12 cm。求体积。

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V = π × 5² × 12 = π × 25 × 12 = 300π = 942.47…，所以 942 cm³。

5. 一个棱柱的端面是梯形。平行边是 5 cm 和 9 cm，两平行边之间的垂直距离是 6 cm。棱柱长 20 cm。(a) 求体积。(b) 写出以毫升为单位的容量。

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(a) 面积 = ½ × (5 + 9) × 6 = ½ × 14 × 6 = 42 cm²。体积 = 42 × 20 = 840 cm³。

(b) 1 cm³ = 1 mL，所以容量是 840 mL。

6. 一个圆锥的底面半径是 9 cm，垂直高度是 10 cm。求体积。

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V = ⅓ × π × 9² × 10 = ⅓ × π × 81 × 10 = 270π = 848.23…，所以 848 cm³。

7. 一个圆柱形水箱的半径是 0.5 m，高是 1.2 m。(a) 求它的容量（升）。(b) 以每分钟 20 升的速度注水，需要多少分钟才能注满？

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(a) V = π × 0.5² × 1.2 = π × 0.25 × 1.2 = 0.3π = 0.9424… m³。乘以 1000：942 升。

(b) 时间 = 942.47… ÷ 20 = 47.12…，所以 47.1 分钟。

8. 一个圆柱的体积是 1500 cm³，半径是 7 cm。求它的高。

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h = V ÷ (πr²) = 1500 ÷ (π × 49) = 1500 ÷ 153.93… = 9.744…，所以 9.74 cm。

9. 一个立体由半径 3 cm、高 8 cm 的圆柱，加上顶部半径 3 cm、垂直高度 4 cm 的圆锥组成。求总体积。

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圆柱：π × 3² × 8 = 72π。圆锥：⅓ × π × 3² × 4 = 12π。总和 = 84π = 263.89…，所以 264 cm³。

10. 一个圆锥的体积是 200 cm³，垂直高度是 6 cm。求底面半径。

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V = ⅓πr²h，所以 r² = 3V ÷ (πh) = 600 ÷ (6π) = 100 ÷ π = 31.83…。然后 r = √31.83… = 5.641…，即 5.64 cm。

11. 一名学生求半径 2.9 cm、高 9.1 cm 的圆柱体积，写下 2404 cm³。请估算体积，说明 2404 是否合理，并求出正确答案。

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估算：π ≈ 3，r ≈ 3，h ≈ 9，所以 3 × 9 × 9 = 243 cm³。2404 大了十倍，所以不合理。正确值：π × 2.9² × 9.1 = π × 8.41 × 9.1 = π × 76.531 = 240.4…，所以 240 cm³。

题目中的运算部分，可以用无计算器运算训练多做精确值练习。发现重复出现的模式时，记在错题记录与重测队列里，几天后用同类新题再试一次。

做完题组还是不明白为什么被扣分？数学线上一对一补习的老师可以在你边说边做时，把每个错误追溯到原因。