两个联立方程不一致，指的是没有任何一对数值能同时满足它们。在图上，这表示两条平行线永不相交。如果两个方程其实是同一条直线，则有无穷多个解。
这一课完成了联立关系这个模块。它让你看到另外两种结果，这样当步骤得不到整齐的数值时，你就知道发生了什么。
三种可能的结果
| 结果 | 图像 | 你的步骤会出现 |
|---|---|---|
| 一个解 | 两线相交于一点 | 两个字母都得到值 |
| 无解 | 平行线 | 假等式，如 0 = 3 |
| 无穷多解 | 同一条线 | 真等式，如 0 = 0 |
快速判断：斜率相同但截距不同的线是平行线。斜率相同且截距相同的线是重合的。
步骤
- 对齐方程，比较 x 和 y 的系数。
- 把一个方程乘以某个数，使 x 的系数（或 y 的系数）相同。
- 相减，消掉那个字母。
- 如果两个字母都消失了，看剩下的式子。假命题表示无解，真命题表示有无穷多解。
- 用文字写出结论。
例题详解
解：2x + 3y = 6 (1) 和 4x + 6y = 15 (2)
第一步，使 x 的系数相同。 (1) × 2 得 4x + 6y = 12。
第二步，用 (2) 减去它： (4x + 6y) − (4x + 6y) = 15 − 12，得 0 = 3。
第三步，解读结果。 两个字母都消失了，而 0 = 3 是假命题。
结论： 这两个方程不一致。(2) 的左边恰好是 (1) 左边的两倍，但右边是 15 而不是 12。两条线平行，所以无解。
对照的一组：x + 2y = 4 和 3x + 6y = 12。把第一个乘以 3，得 3x + 6y = 12，与第二个完全相同。相减得 0 = 0，所以有无穷多个解。
要留意的错误
常见的失误是把 0 = 3 当成要解的方程。
错误做法： “0 = 3，所以 x = 0，y = 3。”
学生把这些数字当作字母的值来读。但 0 = 3 里已经没有字母了，它只是一个假命题。
改正的办法是停下来，问这个式子对这个情境说了什么。假命题不能靠求 x 和 y 来修好。要写“无解，两条线平行”，如果题目要求，就通过比较斜率或展示那个假等式来说明理由。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 3x − y = 5 和 6x − 2y = 7 有多少个解？
查看答案
把 (1) 加倍：6x − 2y = 10。与 (2) 比较：6x − 2y = 7。左边相同，但 10 ≠ 7，相减得 0 = 3，是假命题。
无解。两条线平行。
2. x + 2y = 4 和 3x + 6y = 12 有多少个解？
查看答案
把 (1) 乘以 3：3x + 6y = 12，与 (2) 完全相同。相减得 0 = 0，永远成立。
有无穷多个解。两个方程描述同一条直线。
3. 下面哪一组恰好有一个解？(a) y = 3x + 1 和 y = 3x − 4 (b) 2x + y = 5 和 x − y = 1。求出这个解。
查看答案
(a) 两条线斜率都是 3，截距不同，所以平行，无解。(b) 两式相加：3x = 6，x = 2。再由 2 − y = 1 得 y = 1。检查 (1)：4 + 1 = 5，相符。
第 (b) 组，x = 2，y = 1。
下一步
现在你已经掌握两个一次方程的所有结果。用联立关系练习题组把它们一起检测，并用无计算器运算训练检查运算。如果想重温消元步骤，可以回到用消元法求解。
算不出数字就慌的学生，往往只需要有人讲解一次这个规律。数学线上一对一补习的老师会逐行检查你的书面步骤，告诉你假等式出现时该怎么写。