解一次与二次方程组的步骤是：把一次方程代入二次方程，整理成二次式等于零，解出来，再用一次方程求出每个对应的 y。答案是坐标，所以成对出现。
请到 Cambridge 课程大纲页面，确认这个课题是否在你所考的路线内。代入的习惯来自某个变量已单独列出时选用代入法，在这里可以直接使用。
为什么答案是两个点？
一条直线与抛物线相交，可能是零个、一个或两个点。把两个 y 的表达式令相等，就是在找高度相同时的 x 值。
因为得到的方程是二次的，它可能有两个根。每个根是一个交点的 x 坐标，直线告诉你那里的高度。
步骤
- 把两个方程都写成 “y = …”，或把其中一个整理成这样。
- 令两个表达式相等。
- 把所有项移到一边，使方程变成 ax² + bx + c = 0。
- 求解：用因式分解，分解不了就用公式。
- 把每个 x 代入一次方程求 y。
- 写出坐标对，并在二次式中逐个检查。
例题详解
解这一组：y = x² − 4x + 3 和 y = x − 1
第一步，令相等： x² − 4x + 3 = x − 1。
第二步，整理： 两边减 x 再加 1：x² − 5x + 4 = 0。
第三步，因式分解： (x − 1)(x − 4) = 0，所以 x = 1 或 x = 4。
第四步，用直线求 y： x = 1 时，y = 1 − 1 = 0。x = 4 时，y = 4 − 1 = 3。
第五步，在曲线中检查： x = 1 时，1 − 4 + 3 = 0，相符。x = 4 时，16 − 16 + 3 = 3，相符。
答案：(1, 0) 和 (4, 3)。
要留意的错误
常见的失误是按顺序对应数值而不是代入，或者只写出 x 值。
错误答案： “x = 1 和 x = 4，所以点是 (1, 3) 和 (4, 0)。”
学生把 x 与错误的 y 对应，y 值对调了。点 (1, 3) 不在直线上，因为 1 − 1 = 0。
改正的办法是每次把各个 x 分别代入一次方程，并立刻写出坐标对。第二个失误是跨等号移项时出现符号错误，所以最好把每一步移项写在该行旁边，例如 “−x, +1”。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 解 y = 2x 和 y = x² − 3。
查看答案
令相等：x² − 3 = 2x，所以 x² − 2x − 3 = 0。因式分解：(x − 3)(x + 1) = 0，x = 3 或 x = −1。用 y = 2x 得 y = 6 和 y = −2。检查 (3, 6)：9 − 3 = 6，相符。检查 (−1, −2)：1 − 3 = −2，相符。
(3, 6) 和 (−1, −2)
2. 解 y = x + 6 和 y = x²。
查看答案
令相等：x² = x + 6，所以 x² − x − 6 = 0。因式分解：(x − 3)(x + 2) = 0，x = 3 或 x = −2。用 y = x + 6 得 y = 9 和 y = 4。检查 (−2, 4)：(−2)² = 4，相符。
(3, 9) 和 (−2, 4)
3. 解 y = 2x − 1 和 y = x²。这个结果说明直线与曲线是什么关系？
查看答案
令相等：x² = 2x − 1，所以 x² − 2x + 1 = 0。分解为 (x − 1)² = 0，x = 1 是重根。再得 y = 2(1) − 1 = 1。检查：1² = 1，相符。
只有一个解 (1, 1)。直线只在一点接触曲线，也就是切线（tangent）。
下一步
接下来，识别不一致的联立条件会说明方程没有共同解时会发生什么。二次函数结构探索器让你同时看到抛物线和直线。可以用联立关系练习题组把所有情况混合练习。
不少学生代数没问题，丢分是因为步骤写得乱，x 和 y 对错了位置。数学线上一对一补习的老师会逐行看你的书面步骤，帮你把整理步骤的习惯练稳。