当题目给出扇形的周长，并且还给出面积或另一个长度时，把每个条件写成方程，再消去 θ。弧度、弧长与扇形中的这一课同时用到弧长和扇形面积公式，通常以二次方程收尾。
怎样把文字变成方程？
设扇形的半径为 r，角为 θ（弧度）：
- 周长： P = 2r + rθ（两条半径加弧）。
- 面积： A = ½r²θ。
- 关键联系： 弧长是 s = rθ，所以 A = ½ r s。
窍门是用周长把弧用 r 表示：rθ = P − 2r。然后面积变成 A = ½ r (P − 2r)，只剩一个未知数。
怎样一步步解题？
- 写出周长方程 并把弧单独写出：rθ = P − 2r。
- 把面积写成 ½ r × (弧)，代入第 1 步的弧。
- 得到关于 r 的二次方程， 用因式分解或公式求解。可以用二次结构探索器检验根。
- 对每个 r 求 θ： θ = 弧 ÷ r。
- 把每一组值代回原条件检查， 并确认 0 < θ ≤ 2π。
例题详解
一个扇形的周长为 24 cm，面积为 32 cm²。求可能的半径和对应的角。
步骤 1，周长： 2r + rθ = 24，所以弧 rθ = 24 − 2r。
步骤 2，面积： ½ r (24 − 2r) = 32，所以 r(12 − r) = 32。
步骤 3，二次方程： 12r − r² = 32，所以 r² − 12r + 32 = 0。因式分解：(r − 4)(r − 8) = 0，所以 r = 4 或 r = 8。
步骤 4，角： 若 r = 4，弧 = 24 − 8 = 16，所以 θ = 16/4 = 4 rad。若 r = 8，弧 = 24 − 16 = 8，所以 θ = 8/8 = 1 rad。
步骤 5，检查： r = 4，θ = 4：周长 8 + 16 = 24 ✓，面积 ½ × 16 × 4 = 32 ✓。r = 8，θ = 1：周长 16 + 8 = 24 ✓，面积 ½ × 64 × 1 = 32 ✓。两个角都小于 2π，所以都成立。
答案是 r = 4 cm 且 θ = 4 rad，或 r = 8 cm 且 θ = 1 rad。
要留意的错误
常见的错误是周长里漏掉两条半径。
错误解法： 周长 = rθ = 24，所以弧是 24 cm。
这把弧当成了整个周长。直边还要加 2r，所以弧是 24 − 2r，之后每一行都会不同。
更正方法是画出扇形，用手指沿边界走一圈：半径、弧、半径。代入之前先写下“2r + 弧”。
自我检测
1. 一个扇形的半径为 9 cm，周长为 30 cm。求角（弧度）。
查看答案
弧 = 30 − 2 × 9 = 12。θ = 弧 ÷ r = 12/9 = 4/3。
θ = 4/3 rad（3 位有效数字为 1.33）。
2. 一个扇形的角为 1 rad，周长为 18 cm。求半径。
查看答案
P = 2r + r × 1 = 3r = 18，所以 r = 6。
6 cm。检查：弧 = 6，周长 = 12 + 6 = 18。✓
3. 一个扇形的周长为 20 cm，面积为 25 cm²。求半径和角，并解释为什么只有一个答案。
查看答案
弧 = 20 − 2r，所以 ½ r (20 − 2r) = 25，得 r(10 − r) = 25，即 r² − 10r + 25 = 0，(r − 5)² = 0。所以 r = 5，θ = (20 − 10)/5 = 2。
r = 5 cm，θ = 2 rad。 这个二次方程有重根，所以只有一个半径成立。检查：面积 ½ × 25 × 2 = 25。✓
下一步
用弧度、弧长与扇形练习检测整个单元。免计算器演算训练器有助于精确计算。
如果你总是在解二次方程那几步出错或变慢，线上一对一附加数学补习的老师可以陪你把这几步练顺。