这一组有十二道原创题，由易到难，涵盖弧度、弧长与扇形的全部五课。第 1 至 3 题是换算，第 4 至 9 题用到弧长、扇形面积和周长，第 10 至 12 题综合多项技能，步骤更多。
每题先在纸上作答，像考试那样写出过程。先把计算器设为弧度模式，并用 sin 1 = 0.8415 测试。做完再打开答案，标出做错的题，并对照末尾的清单。
题目
1. 把 150° 换成弧度，用 π 表示。
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150 × π/180 = 150π/180。分子分母同除以 30，得 5π/6。
5π/6 rad。 检查：150° 比 180° 少 30°，而 π − π/6 = 5π/6。✓
2. 把 11π/12 rad 换成度。
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11π/12 × 180/π = 11 × 180/12 = 11 × 15 = 165。
165°。 检查：略小于 180°，也就是 π。✓
3. 把 2.5 rad 换成度，保留 1 位小数。
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2.5 × 180/π = 450/π = 143.239…
143.2°。 检查：2.5 × 57.3° 约为 143°。✓
4. 一个扇形的半径为 7.5 cm，角为 0.8 rad。求弧长。
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s = rθ = 7.5 × 0.8 = 6。
6 cm
5. 一个时钟的分针长 14 cm。求针尖在 20 分钟内走过的距离，用 π 表示，并保留 3 位有效数字。
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20 分钟内分针转了 20/60 = 1/3 圈，所以 θ = 2π/3。于是 s = 14 × 2π/3 = 28π/3 = 29.321…
28π/3 cm，即 29.3 cm。 检查：周长 28π 的三分之一是 28π/3。✓
6. 一个扇形的半径为 15 cm，角为 72°。求弧长，用 π 表示，并保留 3 位有效数字。
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72° = 72π/180 = 2π/5 rad。所以 s = 15 × 2π/5 = 6π = 18.849…
6π cm，即 18.8 cm。 检查：72/360 = 1/5，30π 的五分之一是 6π。✓
7. 一个扇形的半径为 12 cm，角为 5π/6。求面积，用 π 表示，并保留 3 位有效数字。
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A = ½ × 12² × 5π/6 = 72 × 5π/6 = 60π = 188.495…
60π cm²，即 188 cm²。 检查：5π/6 是 150°，150/360 × 144π = 60π。✓
8. 一个扇形的面积为 27 cm²，角为 1.5 rad。求半径、弧长和周长。
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27 = ½ r² × 1.5 = 0.75r²，所以 r² = 36，r = 6。弧长 s = rθ = 6 × 1.5 = 9。周长 = 2r + s = 12 + 9 = 21。
r = 6 cm，弧 = 9 cm，周长 = 21 cm。 检查：A = ½ r s = ½ × 6 × 9 = 27。✓
9. 一个扇形的半径为 9 cm，周长为 33 cm。求角（弧度）和扇形面积。
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弧 = 33 − 2 × 9 = 15。θ = 15/9 = 5/3。面积 = ½ r s = ½ × 9 × 15 = 67.5。
θ = 5/3 rad（1.67），面积 = 67.5 cm²。 检查：½ × 81 × 5/3 = 67.5。✓
10. 一个扇形的半径为 12 cm，角为 2π/3。求被弦截出的弓形的精确面积，再保留 3 位有效数字。
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扇形：½ × 144 × 2π/3 = 48π。三角形：½ × 144 × sin(2π/3) = 72 × √3/2 = 36√3。弓形 = 48π − 36√3 = 150.796 − 62.354 = 88.443…
48π − 36√3 cm²，即 88.4 cm²。 检查：弓形比扇形 150.8 cm² 小，且大于零。✓
11. 扇形 OAB 的半径为 10 cm，角为 1.6 rad。求弓形的周长（弧 AB 加弦 AB）和弓形面积，保留 3 位有效数字。
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弧 = 10 × 1.6 = 16。弦 = 2r sin(θ/2) = 20 × sin 0.8 = 20 × 0.71736 = 14.347。周长 = 16 + 14.347 = 30.347。
面积 = ½ r² (θ − sin θ) = 50 × (1.6 − 0.99957) = 50 × 0.60043 = 30.021。
周长 30.3 cm，面积 30.0 cm²。 检查：弦（14.3）比弧（16）短。✓
12. 一个扇形的周长为 28 cm，面积为 48 cm²。求两个可能的半径和对应的角。
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弧 = 28 − 2r，所以 ½ r (28 − 2r) = 48，得 r(14 − r) = 48，即 r² − 14r + 48 = 0。因式分解：(r − 6)(r − 8) = 0，所以 r = 6 或 r = 8。
若 r = 6，弧 = 28 − 12 = 16，θ = 16/6 = 8/3。若 r = 8，弧 = 28 − 16 = 12，θ = 12/8 = 3/2。
r = 6 cm 且 θ = 8/3 rad（2.67），或 r = 8 cm 且 θ = 3/2 rad。 检查面积：½ × 6 × 16 = 48，½ × 8 × 12 = 48。两个角都小于 2π。✓
如果你做错了
- 换算答案差了约 57 倍，或分数颠倒（第 1 至 3 题）： 回到准确换算度与弧度。
- 弧长大得离谱，或把度数代入 s = rθ（第 4 至 6 题）： 回到用弧度求弧长。
- 扇形面积大了一倍，或漏掉二分之一（第 7 和 8 题）： 回到计算扇形面积。
- 弓形的值几乎和扇形一样大，或计算器在角度模式（第 10 和 11 题）： 回到比较扇形与其内接三角形。
- 周长漏掉两条半径，或二次方程丢了一个根（第 9 和 12 题）： 回到解含弧的周长条件。
把每个错误记录在错题记录与重测队列，几天后再做一道类似的题。免计算器演算训练器和二次结构探索器可以辅助精确计算和二次方程这一步。
如果某一类错误在两轮复习后仍然存在，老师可以在线上一对一附加数学补习中查看你的书面解答。