用弧度求弧长

要求弧长（arc length），用 s = rθ，其中 r 是半径，θ 是圆心角，必须用弧度。这是弧度、弧长与扇形中最短的公式，也是大多数单位错误开始的地方。

s = rθ 从哪里来？

整个圆的周长是 2πr，角是 2π。角 θ 所对的弧，是整个周长的 θ/2π：(θ/2π) × 2πr。2π 约掉，剩下 s = rθ。

所以公式的意思是：弧长 = 半径 × 弧度角。角加倍，弧也加倍，这和你的直觉一致。

怎样一步步使用？

1. 把角写成弧度。 如果题目给的是度数，用上一课的换算。
2. 写出公式 s = rθ，代入 r 和 θ。
3. 算出数值。 如果题目要精确值，就保留 π。
4. 写上半径的单位。
5. 需要时移项： 求半径 r = s/θ，求角 θ = s/r。

例题详解

一个扇形的半径为 9 cm，角为 140°。求弧长，保留 3 位有效数字。

步骤 1，换算： 140 × π/180 = 7π/9 rad。

步骤 2，代入： s = rθ = 9 × 7π/9。

步骤 3，化简： 两个 9 约掉，所以 s = 7π。

步骤 4，求值： 7π = 21.991…，所以 s = 22.0 cm（3 位有效数字）。

用圆的分数检查： 140/360 × 2π × 9 = 140/360 × 56.549 = 21.991。✓ 两种方法一致。

要留意的错误

常见的错误是把度数直接代入 s = rθ。

错误解法： s = 9 × 140 = 1260 cm

这条公式需要弧度。半径 9 cm 的圆上出现 1260 cm 的弧也不可能，因为整个圆周长只有约 56.5 cm。

更正方法是先换算，再做大小检查：弧长永远不可能超过整个圆周长 2πr。这个检查只要五秒钟，就能抓出错误。

自我检测

1. 一个扇形的半径为 5 cm，角为 0.6 rad。求弧长。

2. 一个扇形的半径为 12 cm，角为 5π/6 rad。求弧长，用 π 表示，并保留 3 位有效数字。

3. 一段长 14.4 cm 的弧，对圆心的角为 1.8 rad。求半径。

下一步

弧长变得自然之后，继续学习计算扇形面积，它用的是同一个弧度角。免计算器演算训练器有助于让答案保持带 π 的精确形式。

如果公式你懂了，考试时还是忘记先把度换成弧度，线上一对一附加数学补习的老师可以帮你养成先检查单位的习惯。