准确换算度与弧度

要在度与弧度之间换算，只需记住一个事实：180° = π 弧度。其他的换算都是它的分数。在弧度、弧长与扇形里，几乎每道弧、扇形和三角题都要先换算。

什么是弧度？

取一个半径为 r 的圆，截下一段长度同样是 r 的弧。这段弧对圆心所张的角就是一弧度。整个圆周长是 2πr，所以一整圈有 2π 弧度，也就是 360°。

两边各除以 2，就得到关键事实：180° = π rad。直角是 π/2，60° 是 π/3。

怎样一步步换算？

1. 度换弧度： 乘以 π/180，再化简分数。
2. 弧度换度： 乘以 180/π。
3. 如果弧度值里带 π， π 会约掉，得到整数度数。
4. 检查大小： 一弧度约 57°，所以 2 rad 应该略大于 100°。

第 4 步能立刻发现分数颠倒了。如果 2 rad 算出来是 0.035°，就是哪里倒过来了。

例题详解

换算：(a) 135° 换成弧度，(b) 5π/12 rad 换成度，(c) 2.4 rad 换成度，保留 1 位小数。

(a) 135 × π/180 = 135π/180。分子分母同除以 45，得 3π/4。所以 135° = 3π/4 rad。

(b) 5π/12 × 180/π。π 约掉，剩下 5 × 180/12 = 5 × 15 = 75。所以是 75°。

(c) 2.4 × 180/π = 432/π = 137.50987…。所以是 137.5°（保留 1 位小数）。

(c) 的大小检查：2.4 rad 介于 2 rad（约 115°）与 3 rad（约 172°）之间，所以 137.5° 合理。

要留意的错误

常见的错误是计算器模式不对，或把弧度数当成度数。

错误解法： sin 1.2 = 0.0209

计算器在角度模式，算出来的是 sin 1.2°。题目的意思是 1.2 弧度。

正确的值是 sin 1.2 = 0.9320（保留 4 位小数），计算器要在弧度模式。快速测试：sin 1 在弧度模式下应该是 0.8415，在角度模式下是 0.0175。每份试卷开始时都先做这个测试。

自我检测

1. 把 72° 换成弧度，用 π 表示。

2. 把 7π/9 rad 换成度。

3. 把 0.8 rad 换成度，保留 1 位小数。

下一步

换算熟练之后，继续学习求弧长，再用弧度、弧长与扇形练习检测整个单元。免计算器演算训练器可以帮你让带 π 的答案保持精确。

有些学生单独做换算没问题，角度一藏进长题目就出错。线上一对一附加数学补习的老师会专门找出你在哪一步弄错。