有些题目给出含未知系数的多项式，例如 f(x) = x³ + ax² + bx − 6，再给出几条关于因式或余式的信息。每条信息变成一个关于 a 和 b 的方程，解出这些方程就能还原多项式。
每个条件说的是什么？
需要翻译的条件只有两种。
- “(x − a) 是因式” 表示 f(a) = 0。
- “被 (x − a) 除的余式是 R” 表示 f(a) = R。
因式其实就是余式为零。两种条件用的是同一种代入，区别只在等号右边的数。
两个未知数题目的步骤
- 找出每个条件的代入值：令除式等于零。
- 代入多项式并合并同类项，使每个条件得到一个一次方程。
- 联立解出两个方程。
- 写出最终的多项式，代入所求的值。
- 用最终的多项式检验两个条件。
例题
多项式 f(x) = x³ + ax² + bx − 6 有因式 (x − 1)。f(x) 被 (x − 3) 除时，余式为 12。求 a 和 b。
第 1 步，因式条件： f(1) = 0，所以 1 + a + b − 6 = 0，得 a + b = 5。
第 2 步，余式条件： f(3) = 12，所以 27 + 9a + 3b − 6 = 12。得 9a + 3b = −9，除以 3 得 3a + b = −3。
第 3 步，求解： 第二个方程减第一个方程：2a = −8，所以 a = −4。然后 b = 5 − (−4) = 9。
第 4 步，多项式： f(x) = x³ − 4x² + 9x − 6。
第 5 步，检验： f(1) = 1 − 4 + 9 − 6 = 0。✓ f(3) = 27 − 36 + 27 − 6 = 12。✓
a = −4，b = 9
要留意的错误
最常见的失误，是把余式当成因式来处理。
错误做法： 学生对“被 (x − 3) 除的余式是 12”写成 f(3) = 0，得到 9a + 3b = −21，再解出一对错误的方程。
余式是 12，不是 0，所以方程要等于 12。
纠正的办法是先用文字写出条件：“余式 12 表示 f(3) = 12”。解完之后，用最终多项式一检验，就会发现 f(3) ≠ 12，并指出是哪一行错了。
自我检测
1. 多项式 x³ + px² + qx + 6 有因式 (x − 1) 和 (x + 2)。求 p 和 q。
查看答案
f(1) = 1 + p + q + 6 = 0，所以 p + q = −7。f(−2) = −8 + 4p − 2q + 6 = 0，所以 4p − 2q = 2，即 2p − q = 1。两式相加：3p = −6，所以 p = −2，q = −5。验算：f(x) = x³ − 2x² − 5x + 6，f(1) = 0，f(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0。
2. 多项式 2x³ + ax² + bx − 5 有因式 (x − 1)，被 (x − 2) 除的余式是 15。求 a 和 b。
查看答案
f(1) = 2 + a + b − 5 = 0，所以 a + b = 3。f(2) = 16 + 4a + 2b − 5 = 15，所以 4a + 2b = 4，即 2a + b = 2。相减：a = −1，所以 a = −1，b = 4。验算：f(1) = 2 − 1 + 4 − 5 = 0，f(2) = 16 − 4 + 8 − 5 = 15。
接下来学什么
求出系数后，可以用一次因式除法来分解，再用展开检验因式分解确认结果。综合练习里有这类题目，无计算器步骤训练器则适合用来练习算术。
如果把文字翻译成方程是你丢分的地方，我们的老师可以在一对一线上附加数学补习中陪你练习这一步。