余数定理（remainder theorem）说：当 f(x) 被 (x − a) 除时，余式是 f(a)。你只需代入一个值并计算，不必做整个除法。
凡是题目问“f(x) 被 (x + 3) 除的余式是多少”，或给出余式并要你求未知系数，都会用到它。
为什么代入就得到余式？
任何除法都可以写成 f(x) = (x − a) × q(x) + R，其中 q(x) 是商（quotient），R 是余式。令 x = a，第一项变成零，因为 (a − a) = 0，剩下 f(a) = R。
所以余式就是 f(a) 算出来的数。如果 f(a) = 0，就没有余式，(x − a) 是因式，这正是用已知的根求因式所做的事。
怎样确定要代入的值
- 令除式等于零。 (x − 2) 对应 x = 2，(x + 3) 对应 x = −3，(2x − 1) 对应 x = ½。
- 把这个值代入 f(x)。 负数和分数要加括号。
- 小心计算并写出余式。 写上“余式 = …”，让答案清楚。
例题
求 f(x) = x³ + 4x² − 2x + 5 被 (a) x − 2、(b) x + 3、(c) 2x − 1 除的余式。
(a) x = 2：f(2) = 8 + 16 − 4 + 5 = 25。
(b) x = −3：f(−3) = (−27) + 4(9) − 2(−3) + 5 = −27 + 36 + 6 + 5 = 20。
(c) x = ½：f(½) = ⅛ + 4(¼) − 2(½) + 5 = ⅛ + 1 − 1 + 5 = 5⅛ = 41/8。
用长除法验算 (a)： x³ + 4x² − 2x + 5 除以 (x − 2)，商为 x² + 6x + 10，余式 25。因为 (x − 2)(x² + 6x + 10) = x³ + 4x² − 2x − 20，而 5 − (−20) = 25。
要留意的错误
最常见的失误，是代入除式里出现的数字，而不是使除式为零的值。
(b) 的错误做法： f(3) = 27 + 36 − 6 + 5 = 62。
学生看到“+ 3”就代入 x = 3。除式 (x + 3) 在 x = −3 时才为零。
纠正只需要一行：代入之前先写“x + 3 = 0，所以 x = −3”。这一行只要五秒，却能避免错误。
补充：分数根的代入小技巧
当除式是 (2x − 1) 这样带系数的一次式时，代入值是分数，最容易在括号和乘方上出错。建议先把 x = ½ 的各次幂列出来：x² = ¼，x³ = ⅛，再逐项乘以系数。这样每一项都是一个简单的分数，相加时不容易漏。
例如 f(x) = x³ + 4x² − 2x + 5 在 x = ½ 时，四项分别是 ⅛、1、−1 和 5，合计 41/8。列成一行再相加，比在脑中一次算完可靠得多。
自我检测
1. 求 x³ − 2x + 7 被 (x − 3) 除的余式。
查看答案
f(3) = 27 − 6 + 7 = 28。
2. 求 2x³ + x² − 5 被 (x + 1) 除的余式。
查看答案
x = −1。f(−1) = 2(−1) + 1 − 5 = −2 + 1 − 5 = −6。
3. x³ + kx + 4 被 (x − 2) 除的余式是 10，求 k。
查看答案
f(2) = 8 + 2k + 4 = 12 + 2k = 10，所以 2k = −2，k = −1。验算：8 − 2 + 4 = 10。
接下来学什么
余式不为零时，除法仍然有商。用一次因式除三次多项式培养这项技能，根据条件还原多项式则用余式来求未知系数。
之后可以做综合练习。无计算器步骤训练器很适合用来检查分数运算。
如果余式题总是因为符号或分数的小失误而出错，一对一线上附加数学补习中的老师能很快从你的书面步骤里找到它们。