当一个根给出了因式，就用这个因式去除三次多项式，得到二次式的商，再分解这个二次式。这样就完成了三次式的分解，也能解对应的三次方程。
这一课直接承接用已知的根求因式，大多数完整的三次式题目都需要它。
除法怎么做？
如果 (x − a) 是 f(x) 的因式，那么 f(x) = (x − a)(二次式)。做除法就是把这个二次式还原出来。常见有两种格式：长除法，以及综合除法（synthetic division），后者就是只写系数的同一过程。
用 (x − a) 做综合除法：
- 按顺序写出 f(x) 的系数，缺少的次数要补 0。
- 落下第一个系数。
- 乘以 a，把结果写在下一个系数下面，然后相加。
- 重复整行。最后一个和是余式，如果 (x − a) 是因式，它应为 0。
- 读出商：其余的和，从 x² 项开始。
例题
已知 f(3) = 0，完整分解 f(x) = 2x³ − x² − 13x − 6。
第 1 步，因式： f(3) = 54 − 9 − 39 − 6 = 0，所以 (x − 3) 是因式。
第 2 步，a = 3 的综合除法： 系数 2、−1、−13、−6。
- 落下 2。
- −1 + 3 × 2 = 5。
- −13 + 3 × 5 = 2。
- −6 + 3 × 2 = 0，所以余式为 0。
第 3 步，商： 2x² + 5x + 2。
第 4 步，分解二次式： 2x² + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)。
第 5 步，答案： f(x) = (x − 3)(2x + 1)(x + 2)，所以根为 x = 3、x = −½、x = −2。
验算： (x − 3)(2x² + 5x + 2) = 2x³ + 5x² + 2x − 6x² − 15x − 6 = 2x³ − x² − 13x − 6。✓
要留意的错误
缺少某个次数是经典陷阱。以 x³ − 7x + 6 除以 (x − 2) 为例。
错误做法： 系数写成 1、−7、6（漏掉了 x² 项）。−7 + 2 = −5，再 6 + 2(−5) = −4。余式为 −4，学生以为 (x − 2) 不是因式。
但 f(2) = 8 − 14 + 6 = 0，它其实是因式。缺少的 x² 项需要写系数 0。
正确的一行是 1、0、−7、6。
落下 1，然后 0 + 2 = 2，再 −7 + 4 = −3，最后 6 − 6 = 0。商是 x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)。如果余式与 f(a) 不一致，就是提醒你重新检查这一行。
自我检测
1. 用 (x − 1) 除 x³ − 6x² + 11x − 6。
查看答案
系数 1、−6、11、−6，a = 1：1；−6 + 1 = −5；11 − 5 = 6；−6 + 6 = 0。商是 x² − 5x + 6，余式为 0。
2. 已知 (x + 1) 是因式，完整分解 x³ + x² − 4x − 4。
查看答案
a = −1。系数 1、1、−4、−4：1；1 − 1 = 0；−4 − 0 = −4；−4 + 4 = 0。商是 x² − 4 = (x − 2)(x + 2)。所以 (x + 1)(x − 2)(x + 2)。
3. 已知 (2x − 1) 是因式，分解 2x³ + 3x² − 8x + 3。
查看答案
长除法：2x³ ÷ 2x = x²，减去 x²(2x − 1) = 2x³ − x²，剩下 4x² − 8x + 3。再 4x² ÷ 2x = 2x，减去 4x² − 2x，剩下 −6x + 3。然后 −3 给出 −6x + 3，余式为 0。商是 x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)。所以 (2x − 1)(x − 1)(x + 3)。
接下来学什么
这项技能要配合用展开检验因式分解，那是确认商是否正确最快的办法。你也可以用二次式结构探索器来看二次式那一部分，然后做综合练习。
完整的三次式题目步骤相连，有人逐行阅读你的解题过程会很有帮助，这正是我们的老师在一对一线上附加数学补习中所做的事。