检验因式分解，就是把各因式重新乘起来，与原多项式比较。如果每一项都吻合，分解就是对的。如果不吻合，不一致的地方就指出了错在哪里。
这是完整三次式题目的最后一步，紧接在用一次因式做除法之后，能挽救不少符号失误。
怎样展开三个括号而不漏项？
先展开两个括号，再把结果乘以第三个括号。每一行都要写出来。好的顺序是先展开两个最简单的括号，把带系数的括号留到最后一次相乘。
完整展开之前，先做快速检查：
- 首项系数： 把所有因式中 x 的系数相乘，必须等于 f(x) 的首项系数。
- 常数项： 把所有因式的常数相乘，必须等于 f(x) 的常数项。
- 一次代入： 把 x = 1 分别代入原式和分解式，两者必须得到同一个数。
例题
有学生声称 2x³ + 3x² − 8x + 3 = (2x − 1)(x − 1)(x + 3)。请检验。
第 1 步，快速检查： 首项系数 2 × 1 × 1 = 2 ✓。常数项 (−1)(−1)(3) = 3 ✓。
第 2 步，代入 x = 1： 原式 2 + 3 − 8 + 3 = 0。分解式：(1)(0)(4) = 0 ✓。
第 3 步，展开两个括号： (x − 1)(x + 3) = x² + 3x − x − 3 = x² + 2x − 3。
第 4 步，乘以 (2x − 1)：
2x(x² + 2x − 3) = 2x³ + 4x² − 6x
−1(x² + 2x − 3) = −x² − 2x + 3
第 5 步，相加： 2x³ + 3x² − 8x + 3。✓
这个分解是正确的。
要留意的错误
根的符号出错，是因式分解错误最常见的原因。x³ − 2x² − 5x + 6 的根是 1、3 和 −2。
错误的分解： (x − 1)(x − 3)(x − 2)。
学生把根 −2 写成了 (x − 2)，而不是 (x + 2)。
检查常数项几秒钟就能发现：(−1)(−3)(−2) = −6，而多项式的常数项是 +6。展开也能证实：(x − 1)(x − 3)(x − 2) = x³ − 6x² + 11x − 6，与原式不符。正确的因式是 (x + 2)，因为 (−1)(−3)(2) = 6。
自我检测
1. x³ − x² − 4x + 4 是否等于 (x − 1)(x − 2)(x + 2)？
查看答案
(x − 2)(x + 2) = x² − 4。然后 (x − 1)(x² − 4) = x³ − 4x − x² + 4 = x³ − x² − 4x + 4。是的，正确。
2. 2x³ − 5x² − 4x + 3 是否等于 (x − 3)(2x + 1)(x + 1)？如果不是，写出正确的分解。
查看答案
(x − 3)(x + 1) = x² − 2x − 3。乘以 (2x + 1)：2x³ + x² − 4x² − 2x − 6x − 3 = 2x³ − 3x² − 8x − 3。与原式不符，所以不等于。改试 (2x − 1)：(x² − 2x − 3)(2x − 1) = 2x³ − x² − 4x² + 2x − 6x + 3 = 2x³ − 5x² − 4x + 3。正确的分解是 (x − 3)(2x − 1)(x + 1)。
3. 用展开证明 x³ − 3x² + 4 = (x + 1)(x − 2)²。
查看答案
(x − 2)² = x² − 4x + 4。然后 (x + 1)(x² − 4x + 4) = x³ − 4x² + 4x + x² − 4x + 4 = x³ − 3x² + 4。✓
接下来学什么
回到用已知的根求因式，看看因式是怎么来的，或者用综合练习测试整个模块。无计算器步骤训练器可以帮你练习手算时细心展开，模块页多项式的因式与余式则列出完整的学习路线。
有些学生展开得很整齐，但符号追踪却不够稳。发现这种模式，正是我们的老师在一对一线上附加数学补习中会做的事。