Sesetengah soalan memberi polinomial dengan pekali tidak diketahui, seperti f(x) = x³ + ax² + bx − 6, dan beberapa fakta tentang faktor atau baki. Setiap fakta menjadi persamaan dalam a dan b, dan menyelesaikan persamaan itu membina semula polinomial.
Ia menggabungkan teorem faktor dan teorem baki dengan persamaan serentak yang mudah.
Apakah maksud setiap syarat?
Hanya ada dua jenis syarat untuk diterjemahkan.
- “(x − a) ialah faktor” bermaksud f(a) = 0.
- “Baki ialah R apabila dibahagi dengan (x − a)” bermaksud f(a) = R.
Faktor sebenarnya ialah baki sifar. Kedua-dua jenis menggunakan penggantian yang sama. Perbezaannya hanya nombor di sebelah kanan.
Langkah bagi soalan dua anu
- Cari nilai penggantian bagi setiap syarat dengan menyamakan pembahagi dengan sifar.
- Gantikan ke dalam polinomial dan kumpulkan sebutan, supaya setiap syarat memberi satu persamaan linear.
- Selesaikan kedua-dua persamaan secara serentak.
- Tulis polinomial akhir dengan nilai yang diperoleh.
- Semak kedua-dua syarat dengan polinomial akhir.
Contoh berlangkah
Polinomial f(x) = x³ + ax² + bx − 6 mempunyai (x − 1) sebagai faktor. Apabila f(x) dibahagi dengan (x − 3), bakinya 12. Cari a dan b.
Langkah 1, syarat faktor: f(1) = 0, jadi 1 + a + b − 6 = 0, memberi a + b = 5.
Langkah 2, syarat baki: f(3) = 12, jadi 27 + 9a + 3b − 6 = 12. Itu memberi 9a + 3b = −9, dan membahagi dengan 3 memberi 3a + b = −3.
Langkah 3, selesaikan: tolak persamaan pertama daripada yang kedua: 2a = −8, jadi a = −4. Kemudian b = 5 − (−4) = 9.
Langkah 4, polinomial: f(x) = x³ − 4x² + 9x − 6.
Langkah 5, semakan: f(1) = 1 − 4 + 9 − 6 = 0. ✓ f(3) = 27 − 36 + 27 − 6 = 12. ✓
a = −4, b = 9
Kesilapan yang perlu diawasi
Silap paling lazim ialah menganggap baki seolah-olah ia faktor.
Penyelesaian yang salah: pelajar menulis f(3) = 0 bagi “baki 12 apabila dibahagi dengan (x − 3)”, memperoleh 9a + 3b = −21, lalu menyelesaikan sepasang persamaan yang salah.
Bakinya 12, bukan 0, jadi persamaan mesti sama dengan 12.
Pembetulannya ialah menulis syarat dalam perkataan dahulu: “baki 12 bermaksud f(3) = 12”. Selepas menyelesaikan, semakan pada polinomial akhir akan menunjukkan f(3) ≠ 12 dan menunjuk kepada baris yang salah.
Semak kendiri
1. Polinomial x³ + px² + qx + 6 mempunyai faktor (x − 1) dan (x + 2). Cari p dan q.
Lihat jawapan
f(1) = 1 + p + q + 6 = 0, jadi p + q = −7. f(−2) = −8 + 4p − 2q + 6 = 0, jadi 4p − 2q = 2, iaitu 2p − q = 1. Tambah kedua-dua persamaan: 3p = −6, jadi p = −2 dan q = −5. Semakan: f(x) = x³ − 2x² − 5x + 6, dan f(1) = 0, f(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0.
2. Polinomial 2x³ + ax² + bx − 5 mempunyai (x − 1) sebagai faktor dan meninggalkan baki 15 apabila dibahagi dengan (x − 2). Cari a dan b.
Lihat jawapan
f(1) = 2 + a + b − 5 = 0, jadi a + b = 3. f(2) = 16 + 4a + 2b − 5 = 15, jadi 4a + 2b = 4, iaitu 2a + b = 2. Tolak: a = −1, jadi a = −1, b = 4. Semakan: f(1) = 2 − 1 + 4 − 5 = 0 dan f(2) = 16 − 4 + 8 − 5 = 15.
Ke mana selepas ini
Selepas mendapat pekali, anda boleh memfaktorkan dengan pembahagian dengan faktor linear dan mengesahkan hasilnya melalui menyemak pemfaktoran dengan pengembangan. Set latihan campuran mengandungi soalan seperti ini, dan pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk aritmetik.
Jika anda terlepas markah semasa menukar ayat kepada persamaan, guru kami boleh melatih langkah itu bersama anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.