Teorem faktor (factor theorem) menyatakan bahawa jika menggantikan x = a ke dalam polinomial f(x) memberi 0, maka (x − a) ialah faktor. Inilah cara paling pantas untuk memulakan pemfaktoran kubik dalam Matematik Tambahan, dan ia muncul setiap kali soalan berbunyi “tunjukkan bahawa (x − 2) ialah faktor” atau “diberi satu punca ialah 3”.
Pelajaran ini membuka faktor polinomial dan baki dan terus bersambung kepada teorem baki.
Mengapa sifar memberi faktor?
Jika f(a) = 0, pembahagian f(x) dengan (x − a) tidak meninggalkan baki, jadi f(x) = (x − a) × (sesuatu). Nilai a ialah punca (root) bagi persamaan f(x) = 0, dan faktor yang sepadan ialah (x − a).
Perhatikan tanda. Punca 3 memberi faktor (x − 3). Punca −2 memberi faktor (x + 2), kerana x − (−2) = x + 2.
Bagaimana mencari punca untuk diuji?
- Tulis sebutan pemalar. Bagi polinomial berpekali nombor bulat, sebarang punca nombor bulat ialah pembahagi sebutan pemalar.
- Senaraikan faktornya, positif dan negatif. Bagi 6 ialah ±1, ±2, ±3, ±6.
- Ganti satu demi satu sehingga f(a) = 0. Mulakan dengan nilai kecil kerana lebih cepat dikira.
- Ubah punca kepada faktor dengan menulis (x − a) dan hapuskan sebarang pecahan.
Apabila pekali tertinggi bukan 1, punca boleh berbentuk pecahan. Bagi 2x³ + 3x² − 8x + 3, cuba juga ½, kerana 2 × (½) − 1 = 0 memberi faktor (2x − 1).
Contoh berlangkah
Diberi f(x) = x³ − 2x² − 5x + 6, cari semua faktor linear.
Langkah 1, calon: pemalar ialah 6, jadi uji ±1, ±2, ±3, ±6.
Langkah 2, uji x = 1: f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0. Maka (x − 1) ialah faktor.
Langkah 3, teruskan menguji: f(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4, bukan sifar. f(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0, jadi (x − 3) ialah faktor. f(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0, jadi (x + 2) ialah faktor.
Langkah 4, berhenti pada tiga: kubik mempunyai paling banyak tiga faktor linear, jadi kerja selesai.
Langkah 5, semak pemalar: (−1) × (−3) × 2 = 6, sama dengan sebutan pemalar f(x), dan pekali x³ iaitu 1 juga sepadan.
f(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)
Kesilapan yang perlu diawasi
Satu silap yang muncul apabila faktor mempunyai pekali ialah menguji tanda yang salah. Andaikan soalan bertanya sama ada (2x − 1) ialah faktor bagi 2x³ + 3x² − 8x + 3.
Penyelesaian yang salah: f(−½) = 2(−⅛) + 3(¼) − 8(−½) + 3 = −0.25 + 0.75 + 4 + 3 = 7.5, jadi bukan faktor.
Pelajar menyelesaikan 2x + 1 = 0, bukan 2x − 1 = 0.
Pembetulannya ialah menyamakan faktor dengan sifar dahulu. 2x − 1 = 0 memberi x = ½, jadi uji f(½) = 2(⅛) + 3(¼) − 8(½) + 3 = 0.25 + 0.75 − 4 + 3 = 0. (2x − 1) ialah faktor.
Semak kendiri
1. Tunjukkan bahawa (x − 2) ialah faktor bagi x³ − 3x² + x + 2.
Lihat jawapan
f(2) = 8 − 12 + 2 + 2 = 0, jadi (x − 2) ialah faktor.
2. Adakah (x + 1) faktor bagi x³ + 2x² − x − 3?
Lihat jawapan
Selesaikan x + 1 = 0 untuk mendapat x = −1. f(−1) = −1 + 2 + 1 − 3 = −1, bukan sifar. (x + 1) bukan faktor.
3. Cari nilai k supaya (x − 3) ialah faktor bagi x³ + kx² − x − 6.
Lihat jawapan
f(3) = 27 + 9k − 3 − 6 = 18 + 9k = 0, jadi k = −2. Semakan: 27 − 18 − 3 − 6 = 0.
Ke mana selepas ini
Apabila satu punca memberi faktor, soalan seterusnya ialah apa yang tinggal. Membahagi kubik dengan faktor linear menunjukkan cara melengkapkan pemfaktoran, dan set latihan campuran menguji kedua-dua kemahiran. Pelatih kerja tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik membantu dengan aritmetik dan dengan kuadratik yang tinggal.
Jika anda tersekat pada langkah pertama sesuatu kubik baharu, guru kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh membimbing anda memilih nilai pertama untuk diuji.