Set ini merangkumi seluruh modul: menguji punca, mencari baki, membahagi kubik, mencari pekali tidak diketahui dan menyemak pemfaktoran. Soalan bergerak daripada lebih mudah kepada lebih sukar. Kerjakan di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan dan bandingkan setiap langkah.
Pelajaran untuk diulang kaji ada di hujung. Untuk pandangan lebih luas, lihat faktor polinomial dan baki, dan guna pelatih kerja tanpa kalkulator serta penjelajah struktur kuadratik untuk menyemak. Log kesilapan dan baris ujian semula membantu anda menjejak jenis silap.
Soalan
S1. Tunjukkan bahawa (x − 2) ialah faktor bagi f(x) = x³ + 2x² − 5x − 6.
Lihat jawapan
f(2) = 8 + 8 − 10 − 6 = 0. Oleh kerana f(2) = 0, (x − 2) ialah faktor.
S2. Cari baki apabila x³ − 4x + 1 dibahagi dengan (x − 3).
Lihat jawapan
f(3) = 27 − 12 + 1 = 16.
S3. Cari baki apabila 2x³ + 5x² − 3x + 1 dibahagi dengan (x + 2).
Lihat jawapan
x + 2 = 0 memberi x = −2. f(−2) = 2(−8) + 5(4) − 3(−2) + 1 = −16 + 20 + 6 + 1 = 11.
S4. Cari nilai k supaya (x + 1) ialah faktor bagi x³ + kx² − 2x − 5.
Lihat jawapan
x = −1. f(−1) = −1 + k + 2 − 5 = k − 4 = 0, jadi k = 4. Semakan: −1 + 4 + 2 − 5 = 0.
S5. Cari baki apabila 4x³ − 2x² + x − 3 dibahagi dengan (2x − 1).
Lihat jawapan
2x − 1 = 0 memberi x = ½. f(½) = 4(⅛) − 2(¼) + ½ − 3 = 0.5 − 0.5 + 0.5 − 3 = −5/2 (iaitu −2.5).
S6. Bahagi x³ − 2x² − 9x + 18 dengan (x − 2), kemudian faktorkan f(x) = x³ − 2x² − 9x + 18 sepenuhnya.
Lihat jawapan
f(2) = 8 − 8 − 18 + 18 = 0, jadi (x − 2) ialah faktor. Pekali 1, −2, −9, 18 dengan a = 2: 1; −2 + 2 = 0; −9 + 0 = −9; 18 − 18 = 0. Hasil bahagi ialah x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Maka f(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 3). Semakan pengembangan: (x − 2)(x² − 9) = x³ − 9x − 2x² + 18. ✓
S7. Diberi (x − 2) ialah faktor bagi 2x³ + x² − 13x + 6, selesaikan 2x³ + x² − 13x + 6 = 0.
Lihat jawapan
Semak f(2) = 16 + 4 − 26 + 6 = 0. Pekali 2, 1, −13, 6 dengan a = 2: 2; 1 + 4 = 5; −13 + 10 = −3; 6 − 6 = 0. Hasil bahagi ialah 2x² + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3). Maka f(x) = (x − 2)(2x − 1)(x + 3), dan penyelesaiannya x = 2, x = ½, x = −3. Semak x = ½: 2(⅛) + ¼ − 6.5 + 6 = 0. ✓
S8. Polinomial f(x) = x³ + ax² + bx − 4 mempunyai (x − 2) sebagai faktor. Baki ialah −12 apabila f(x) dibahagi dengan (x + 1). Cari a dan b.
Lihat jawapan
f(2) = 8 + 4a + 2b − 4 = 0, jadi 4a + 2b = −4, iaitu 2a + b = −2. f(−1) = −1 + a − b − 4 = −12, jadi a − b = −7. Tambah kedua-dua persamaan: 3a = −9, jadi a = −3. Kemudian b = −2 − 2(−3) = 4. Maka a = −3, b = 4. Semakan: f(x) = x³ − 3x² + 4x − 4, f(2) = 8 − 12 + 8 − 4 = 0 dan f(−1) = −1 − 3 − 4 − 4 = −12. ✓
S9. Polinomial 3x³ + 4x² − x + c mempunyai (x + 2) sebagai faktor. Cari c, kemudian tulis polinomial itu sebagai hasil darab (x + 2) dan satu kuadratik. Terangkan sama ada kuadratik itu boleh difaktorkan dalam nombor nyata.
Lihat jawapan
x = −2. f(−2) = −24 + 16 + 2 + c = c − 6 = 0, jadi c = 6. Pekali 3, 4, −1, 6 dengan a = −2: 3; 4 − 6 = −2; −1 + 4 = 3; 6 − 6 = 0. Hasil bahagi ialah 3x² − 2x + 3, jadi f(x) = (x + 2)(3x² − 2x + 3). Diskriminan ialah (−2)² − 4(3)(3) = 4 − 36 = −32, iaitu negatif. Kuadratik itu tidak boleh difaktorkan dalam nombor nyata.
S10. Seorang pelajar mendakwa 4x³ − 8x² − x + 2 = (2x − 1)(2x + 1)(x − 2). Guna pengembangan untuk memutuskan sama ada ini betul.
Lihat jawapan
(2x − 1)(2x + 1) = 4x² − 1. Kemudian (4x² − 1)(x − 2) = 4x³ − 8x² − x + 2. Ini sepadan dengan polinomial asal sebutan demi sebutan, jadi dakwaan itu betul. Semakan pantas: pekali tertinggi 2 × 2 × 1 = 4 dan pemalar (−1)(1)(−2) = 2. ✓
Jika anda tersilap
| Apa yang tersasar | Pelajaran untuk diulang kaji |
|---|---|
| Tanda salah semasa menukar faktor kepada punca (S1, S3, S4, S9) | Guna punca yang diketahui untuk mendapatkan faktor |
| Menggantikan nilai yang salah, atau tergelincir pada pecahan (S2, S5) | Cari baki tanpa pembahagian penuh |
| Baris pembahagian salah, atau kuasa yang tiada terlangkau (S6, S7, S9) | Bahagi kubik dengan faktor linear |
| Tidak dapat menukar ayat kepada persamaan (S8) | Bina semula polinomial daripada syarat |
| Silap pengembangan, atau tiada semakan akhir (S10) | Semak pemfaktoran dengan pengembangan |
Jika dua baris atau lebih terpakai kepada anda, kerjakan pelajaran mengikut tertib itu. Jika banyak baris terpakai kepada anda, guru kami dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh menyemak kaedah bertulis anda bersama-sama.