这个单元把坐标几何和代数用在圆上：从方程读出圆心和半径，求直线与圆的交点，作切线，求直线与圆相切时的参数，以及根据几何条件写出圆的方程。所有内容共用一个想法：圆就是到圆心距离都等于 r 的所有点，所以每种方法都从这个距离出发。
课题的范围可能调整，所以请到 Cambridge 官网查看你考试年份的 Additional Mathematics 0606 课程大纲，确认具体内容与符号。附加数学学习指南会告诉你这个单元在整体中的位置。
开始之前要先会什么？
你需要会配方（completing the square）、解二次方程并使用判别式（discriminant），也要会求过某一点、斜率已知的直线。如果其中任何一项还不熟，先复习二次结构与判别式和直线与线性化。来自线性与非线性联立模型的联立方程，是大多数圆题背后用到的方法。
一道总览例题
圆 C 的方程为 x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0。求圆心和半径，再求在点 P(5, 7) 的切线。
第 1 步，配方： (x − 2)² − 4 + (y − 3)² − 9 − 12 = 0，所以 (x − 2)² + (y − 3)² = 25。
第 2 步，读出： 圆心 (2, 3)，半径 5。
第 3 步，检查 P 在圆上： (5 − 2)² + (7 − 3)² = 9 + 16 = 25。✓
第 4 步，半径的斜率： 从 (2, 3) 到 (5, 7)，斜率是 4/3。
第 5 步，切线斜率： 切线与半径垂直，所以斜率是 −3/4。
第 6 步，方程： y − 7 = −3/4 (x − 5)，即 4y − 28 = −3x + 15，所以 3x + 4y = 43。
检查： 圆心 (2, 3) 到直线的距离是 |6 + 12 − 43| ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5，等于半径。✓
这里用到两项技能：配方和垂直斜率。下面的课会先分开教，再合起来用。
应该按什么顺序学习？
- 用配方求圆心和半径：其他技能都从这里开始，因为读不出圆心和半径，就没法往下做。
- 求直线与圆的交点：代入后变成二次方程，判别式告诉你有几个交点。
- 利用切线垂直于半径：引入斜率，以及切线与半径成直角这一事实。
- 解出相切的参数条件：结合第二和第三课，求出恰好只有一个交点的 k 值。
- 把几何条件转换成圆的方程：方向相反，根据直径、相切的坐标轴或相等的距离建立方程。
然后做综合练习。每天学一课，周末做练习，是个稳定的节奏。
哪些陷阱最容易绊倒学生？
- 圆心的正负号读反，例如把 (x − 3)² + (y + 2)² = 25 的圆心写成 (−3, 2)。
- 把 r² 当成半径，于是 r² = 25 的圆被画成半径 25。
- 把 (x + 2)² 展开成 x² + 4，代入直线时漏掉中间项。
- 把半径的斜率当成切线的斜率，忘了取倒数并变号。
- 把判别式设为大于零，而相切要求它等于零。
- 只求出一个 k 值，而条件其实有正负两个解。
每一课都会完整展示其中一个错误，再给出改正。
应该怎样使用练习？
先在纸上做每一道题，计算前先画草图，标出圆心和半径。然后打开详解，对照方法，不要只看最后的数值。用无计算器运算训练器练习含根号和分数的精确运算，用二次结构探索器检查代入后出现的二次方程的判别式。
做错时，阅读练习末尾的对照表，回到对应的那一课。直线与圆交点探索器可以让你把直线滑过圆，观察交点个数的变化。把错误记在错题记录与重测队列，几天后再试一道新题。
如果圆的题目总是卡在第一行，可以在一对一线上附加数学补习里请老师看你怎么选方法，带你从圆心和半径开始写第一步。