怎样知道一个方程是圆？

x² 和 y² 的系数必须相同，而且没有 xy 项。配方之后，右边必须是正数，因为它等于 r²。如果是零，图形只是一个点；如果是负数，就没有图形。

如果 x² 和 y² 的系数大于 1 怎么办？

先把整个方程除以那个系数，让 x² 和 y² 的系数都变成 1。对 2x² + 2y² − 4x + 8y − 8 = 0，除以 2 得 x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0，再照常配方。

对 x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0，圆心是 (−g, −f)，r² = g² + f² − c。熟练后这个捷径很快，但配方能让你看懂原因，遇到分数系数时也更稳妥。

要从展开形式的圆方程求出圆心和半径，分别对 x 和 y 配方。结果的形式是 (x − a)² + (y − b)² = r²，其中 (a, b) 是圆心，r 是半径。

这是圆的坐标方法的第一步，因为之后每一课都要用到圆心和半径。考题常常给出 x² + y² + (其他项) = 0，并直接要求两者。

圆心为 (a, b)、半径为 r 的圆，方程是 (x − a)² + (y − b)² = r²。这来自距离公式：点 (x, y) 与 (a, b) 的距离等于 r 时就在圆上，两边平方就去掉了根号。

展开后得到 x² + y² − 2ax − 2by + a² + b² − r² = 0。所以展开形式的方程就是同一个圆，只是括号被乘开了。配方就是把括号放回去。

求 x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 的圆心和半径。

第 1 步，分组： (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12。

第 2 步，分别配方： −6 的一半是 −3，(−3)² = 9。4 的一半是 2，2² = 4。两边各加 9 和 4。

(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4

第 3 步，括号形式： (x − 3)² + (y + 2)² = 25。

第 4 步，读出： 圆心是 (3, −2)，r² = 25，所以半径是 5。

检查： 用捷径，2g = −6，2f = 4，所以 g = −3，f = 2，圆心是 (−g, −f) = (3, −2)。另外 r² = 9 + 4 + 12 = 25。✓

有两个错误一再出现：圆心的正负号读反，以及把 r² 当成半径。

错误答案： 圆心 (−3, 2)，半径 25

学生照抄括号里的符号，忘了 (x − 3) 表示圆心的 x 坐标是正 3。他还把 r² 当成了半径，没有开平方。

改正的方法是解 x − 3 = 0 和 y + 2 = 0 来求圆心：x = 3，y = −2。然后每次都问自己，右边的数是 r² 还是 r。配方之后，它是 r²。

1. 求 x² + y² + 8x − 10y + 16 = 0 的圆心和半径。

查看答案

(x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = −16 + 16 + 25，所以 (x + 4)² + (y − 5)² = 25。

圆心 (−4, 5)，半径 5。

2. 求 2x² + 2y² − 4x + 8y − 8 = 0 的圆心和半径。

查看答案

除以 2：x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0。然后 (x − 1)² + (y + 2)² = 4 + 1 + 4 = 9。

圆心 (1, −2)，半径 3。

3. 说明为什么 x² + y² + 4x − 2y + 9 = 0 不是圆。

查看答案

配方得 (x + 2)² + (y − 1)² = −9 + 4 + 1 = −4。平方和不可能等于负数，所以不存在实数圆。

当读圆变得自然之后，继续学求直线与圆的交点，再用圆的练习检验整个课题。无计算器运算训练器和二次结构探索器都能辅助配方这一步。

有些学生能跟着例题做，遇到新方程却僵住，往往是不知道从哪里开始，而不是不会代数。一对一线上附加数学补习的老师会陪你练习如何起步。