要求直线与圆的交点，把直线方程代入圆的方程，解出二次方程，再把每个答案代回直线求另一个坐标。这个二次方程的判别式会告诉你有两个交点、一个交点还是没有交点。
这项技能属于圆的坐标方法，做法与线性与非线性联立模型中的联立方程一致。下一课的切线就直接由它延伸出来。
为什么代入后会得到二次方程？
两个图形共有的点同时满足两个方程。直线让你把 y 写成 x 的式子，而圆含有 x² 和 y²。把 y 换成 x 的式子后就会出现 x² 项，所以总是得到关于 x 的二次方程。
二次方程最多有两个根，这就是直线与圆最多相交两次的原因。
具体怎么做，一步一步来？
- 整理直线，让其中一个变量成为主项，例如 y = x + 2。
- 代入圆的方程，整个式子要加括号。
- 小心展开，包括括号平方的中间项。
- 合并同类项成 ax² + bx + c = 0，有公因数就约掉。
- 求解：用分解或公式；如果只需要交点个数，就用判别式。
- 求第二个坐标：从直线求出每个点的另一个坐标，再代入圆检查。
例题
圆是 x² + y² − 2x − 4y − 20 = 0，直线是 y = x + 2。求交点，以及弦（chord）的长度。
第 1 步，代入： x² + (x + 2)² − 2x − 4(x + 2) − 20 = 0。
第 2 步，展开： x² + x² + 4x + 4 − 2x − 4x − 8 − 20 = 0。
第 3 步，合并： 2x² − 2x − 24 = 0，所以 x² − x − 12 = 0。
第 4 步，求解： (x − 4)(x + 3) = 0，所以 x = 4 或 x = −3。
第 5 步，从直线求 y： x = 4 得 y = 6，x = −3 得 y = −1。交点是 (4, 6) 和 (−3, −1)。
第 6 步，弦长： √(7² + 7²) = √98 = 7√2。
检查： 在 (4, 6)：16 + 36 − 8 − 24 − 20 = 0 ✓。在 (−3, −1)：9 + 1 + 6 + 4 − 20 = 0 ✓。
要留意的错误
最常见的错误是把 (x + 2)² 展开错。
错误做法： x² + (x + 2)² 变成 x² + x² + 4
学生把每一项分别平方，漏掉了中间项 4x。
改正的方法是把 (x + 2)(x + 2) 完整写出来：x² + 2x + 2x + 4 = x² + 4x + 4。保留中间项后，二次方程才会正确，这个例子里它还能顺利分解。如果二次方程怎么都分解不了，往往说明漏了某一项。
自我检测
1. 求 y = 3x 与 x² + y² = 10 的交点。
查看答案
x² + 9x² = 10，所以 x² = 1，x = ±1。由 y = 3x 得 y = ±3。
交点 (1, 3) 和 (−1, −3)。
2. 证明 y = x + 6 与 x² + y² = 8 不相交。
查看答案
x² + (x + 6)² = 8 得 2x² + 12x + 28 = 0，即 x² + 6x + 14 = 0。判别式是 36 − 56 = −20，为负，所以没有交点。
3. 求 x + y = 3 与 x² + y² = 5 的交点。
查看答案
y = 3 − x，所以 x² + (3 − x)² = 5，得 2x² − 6x + 4 = 0，即 x² − 3x + 2 = 0。于是 x = 1 或 x = 2。
交点 (1, 2) 和 (2, 1)。检查：1 + 4 = 5，4 + 1 = 5。✓
接下来学什么
代入熟练之后，继续学利用切线垂直于半径，再用圆的练习检验这个课题。直线与圆交点探索器会在你移动直线时显示两个、一个或零个交点，无计算器运算训练器则帮助你练习精确运算。
有些学生能重复这个例子，但直线换了样子就不知道该代入哪个变量。老师可以在一对一线上附加数学补习中陪你练习如何选择。