要由几何条件写出圆的方程，先求圆心和半径，再写成 (x − a)² + (y − b)² = r²。无论条件是直径、相切的坐标轴还是相等的距离，每一种都是在告诉你这两样东西。
这一课是圆的坐标方法的最后一步，做法和前面几课相反：前面是从方程读出圆心和半径，这里是从描述建立方程，等于把求圆心和半径倒过来做。
哪些条件会给出圆心和半径？
| 条件 | 圆心 | 半径 |
|---|---|---|
| 直径的端点为 A 和 B | AB 的中点 | AB 长度的一半 |
| 圆心 (a, b)，与 x 轴相切 | (a, b) | |b| |
| 圆心 (a, b)，与 y 轴相切 | (a, b) | |a| |
| 经过两点，圆心在给定直线上 | 该直线与垂直平分线的交点 | 到任一点的距离 |
具体怎么做，一步一步来？
- 画草图，标出各点和条件。
- 求圆心：用中点，或令距离相等。
- 求 r 或 r²：即圆心到圆上某一点的距离。
- 写出方程，用括号形式。
- 检查：把每个已知点代入方程。
例题 1：直径
一个圆的直径端点是 A(1, 2) 和 B(7, 10)。求它的方程。
第 1 步，圆心： 中点是 ((1 + 7) ÷ 2, (2 + 10) ÷ 2) = (4, 6)。
第 2 步，半径： AB = √(6² + 8²) = √100 = 10，所以 r = 5。
第 3 步，方程： (x − 4)² + (y − 6)² = 25。
检查： A 得 9 + 16 = 25 ✓，B 得 9 + 16 = 25 ✓。展开后是 x² + y² − 8x − 12y + 27 = 0。
例题 2：相等的距离
一个圆的圆心在 x 轴上，并经过 (1, 3) 和 (5, 1)。求它的方程。
第 1 步，圆心： 设圆心为 (h, 0)。到两点的距离相等，所以 (1 − h)² + 3² = (5 − h)² + 1²。
第 2 步，展开： 1 − 2h + h² + 9 = 25 − 10h + h² + 1。
第 3 步，求解： 10 − 2h = 26 − 10h，所以 8h = 16，h = 2。
第 4 步，半径的平方： (1 − 2)² + 3² = 10。
第 5 步，方程： (x − 2)² + y² = 10。
检查： (5, 1) 得 (5 − 2)² + 1 = 10 ✓。
要留意的错误
常见的错误是把直径的长度当成半径。
错误答案（例题 1）： (x − 4)² + (y − 6)² = 100
学生把 AB = 10 当成 r，于是 r² = 100。直径是半径的两倍。
改正的方法是先把直径除以 2 再平方。快速检查的办法是代入 A：如果左边不等于右边，半径就错了。这里是 9 + 16 = 25，不是 100。
自我检测
1. 一个圆的圆心是 (2, −3)，并与 y 轴相切。写出它的方程。
查看答案
圆心到 y 轴的距离是 |2| = 2，所以 r = 2。
(x − 2)² + (y + 3)² = 4
2. 一个圆的直径从 (−2, 1) 到 (4, 5)。求它的方程。
查看答案
圆心：(1, 3)。AB² = 6² + 4² = 52，所以 r = √52 ÷ 2，r² = 13。
(x − 1)² + (y − 3)² = 13。检查：(−2, 1) 得 9 + 4 = 13。✓
3. 圆心在 x 轴上的圆经过 (1, 3) 和 (5, 1)。用点 (1, 3) 验证例题 2 的方程。
查看答案
(1 − 2)² + 3² = 1 + 9 = 10，等于 r²。所以 (x − 2)² + y² = 10 经过 (1, 3)。✓
接下来学什么
现在可以在圆的练习中综合运用这五项技能。直线与圆交点探索器和无计算器运算训练器很适合用来检查你的结果。
如果例题你看得懂，却分不清哪个条件对应圆心、哪个对应半径，问题通常出在第一步怎么想。一对一线上附加数学补习的老师可以用不同的条件陪你练习这一步。