Untuk mencari tempat garis bertemu bulatan, gantikan satu pemboleh ubah dalam persamaan bulatan dengan ungkapan daripada garis. Selesaikan kuadratik yang terhasil, kemudian cari koordinat pasangannya daripada garis. Soalan Additional Mathematics sering meminta titik persilangan seperti ini.
Kemahiran ini terletak dalam model serentak linear dan bukan linear, dan persamaan bulatan diterangkan dalam kaedah koordinat bulatan.
Mengapa penggantian berkesan?
Titik yang berada pada garis dan bulatan memuaskan kedua-dua persamaan serentak. Jika garis ialah y = x + 1, maka pada titik sepunya, y dan x + 1 ialah nombor yang sama. Jadi anda boleh menulis x + 1 pada setiap tempat y muncul dalam persamaan bulatan. Persamaan itu masih benar dan hanya tinggal satu nombor yang tidak diketahui.
Yang tinggal ialah kuadratik dalam x. Kuadratik boleh mempunyai dua punca, satu punca berulang atau tiada, sepadan dengan garis yang memotong, menyentuh atau tidak bertemu bulatan.
Bagaimana melakukannya, langkah demi langkah?
- Susun semula garis supaya satu pemboleh ubah berdiri sendiri, biasanya y = mx + c.
- Gantikan ungkapan itu ke dalam bulatan, letakkan di dalam kurungan.
- Kembangkan kurungan sepenuhnya dan kumpulkan semuanya pada satu sebelah.
- Bahagikan dengan faktor sepunya untuk memudahkan kuadratik.
- Selesaikan kuadratik melalui pemfaktoran atau formula.
- Cari setiap nilai pasangan menggunakan garis, bukan bulatan.
- Semak kedua-dua titik dalam kedua-dua persamaan.
Langkah 6 menggunakan garis kerana ia memberi tepat satu pasangan bagi setiap x. Bulatan akan menawarkan dua nilai y bagi setiap x dan mengundang kesilapan.
Contoh berlangkah
Cari titik tempat garis y = 2x − 1 bertemu bulatan x² + y² = 10.
Gantikan: x² + (2x − 1)² = 10.
Kembangkan: (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1, maka x² + 4x² − 4x + 1 = 10.
Kumpulkan: 5x² − 4x − 9 = 0.
Faktorkan: (5x − 9)(x + 1) = 0, maka x = 9/5 atau x = −1.
Pasangan daripada garis: apabila x = −1, y = 2(−1) − 1 = −3. Apabila x = 9/5, y = 18/5 − 1 = 13/5.
Jawapan: (−1, −3) dan (9/5, 13/5).
Semakan: (−1)² + (−3)² = 1 + 9 = 10. Dan (9/5)² + (13/5)² = 81/25 + 169/25 = 250/25 = 10. Kedua-duanya juga berada pada garis, kerana 13/5 = 2(9/5) − 1.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan paling lazim ialah menganggap kuasa dua menembusi setiap sebutan dalam kurungan.
Kerja yang salah: x² + (2x − 1)² = 10 menjadi x² + 4x² − 1 = 10.
Pelajar mengkuasaduakan 2x dan mengkuasaduakan 1 tetapi menggugurkan sebutan tengah −4x.
Itu memberi 5x² = 11, persamaan yang nampak kemas dengan jawapan yang salah dan tiada tanda persilangan kedua. Pembetulannya ialah menulis kurungan dua kali, (2x − 1)(2x − 1), dan mendarab keempat-empat hasil darab.
Garis ini mempunyai sebutan pemalar, jadi sebutan tengah mesti muncul. Sebutan tengah yang hilang ialah tanda amaran.
Semak sendiri
Kerjakan soalan ini pada kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari tempat garis x + y = 7 bertemu bulatan x² + y² = 25.
Lihat jawapan
y = 7 − x. Maka x² + (7 − x)² = 25, jadi 2x² − 14x + 49 = 25, memberi 2x² − 14x + 24 = 0 dan x² − 7x + 12 = 0. Maka (x − 3)(x − 4) = 0 dan x = 3 atau 4.
Pasangan: y = 4 dan y = 3.
(3, 4) dan (4, 3).
2. Cari tempat y = x + 1 bertemu bulatan (x − 2)² + (y − 1)² = 10.
Lihat jawapan
Gantikan: (x − 2)² + x² = 10, kerana y − 1 = x. Kembangkan: x² − 4x + 4 + x² = 10, maka 2x² − 4x − 6 = 0 dan x² − 2x − 3 = 0. Maka (x − 3)(x + 1) = 0, jadi x = 3 atau −1.
Pasangan: y = 4 dan y = 0.
(3, 4) dan (−1, 0). Semak (3, 4): 1 + 9 = 10. Semak (−1, 0): 9 + 1 = 10.
3. Seorang pelajar menggantikan y = x + 3 ke dalam x² + y² = 29 dan menulis x² + x² + 9 = 29. Apa yang salah, dan apakah baris yang betul?
Lihat jawapan
Kuasa dua (x + 3) ditulis sebagai x² + 9, jadi sebutan tengah 6x hilang. Baris yang betul ialah x² + x² + 6x + 9 = 29, yang memberi 2x² + 6x − 20 = 0, kemudian x² + 3x − 10 = 0, maka x = 2 atau x = −5.
Ke mana selepas ini?
Seterusnya, lihat apa yang berlaku apabila kedua-dua persamaan melengkung dalam menyingkirkan pemboleh ubah daripada pasangan bukan linear, kemudian uji modul dengan set latihan campuran. Penjelajah persilangan garis dan bulatan melukis gambarnya supaya anda boleh mengesahkan koordinat, dan pelatih kerja tanpa kalkulator melatih kepantasan dengan pecahan tepat seperti 9/5.
Sesetengah pelajar memahami setiap baris penyelesaian contoh tetapi masih kehilangan markah apabila menghasilkannya sendiri. Di situlah guru kami bekerja dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.