Apabila anda menggantikan garis ke dalam lengkung dan kuadratik itu mempunyai punca berulang, garis menyentuh lengkung pada tepat satu titik, jadi ia ialah tangen. Pembeza nyata (discriminant) b² − 4ac ialah sifar dalam kes itu.
Pelajaran ini menyusuli menyingkirkan pemboleh ubah daripada pasangan bukan linear dan menyediakan soalan parameter dalam menyemak nilai parameter bagi bilangan persilangan. Pembeza nyata sendiri diliputi dalam struktur kuadratik dan pembeza nyata.
Bagaimana rupa setiap hasil?
Selepas penggantian anda mempunyai kuadratik dalam x. Pembeza nyatanya mengasingkan gambar kepada tiga kes.
| Pembeza nyata | Punca | Garis dan lengkung |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | dua berbeza | bertemu pada dua titik |
| b² − 4ac = 0 | satu berulang | menyentuh pada satu titik (tangen) |
| b² − 4ac < 0 | tiada yang nyata | tidak bertemu |
Punca berulang ialah sempadan antara memotong dan tidak bertemu. Gerakkan garis perlahan-lahan merentasi bulatan dan, untuk satu saat, garis itu menyentuhnya.
Bagaimana menggunakannya?
- Gantikan dan kumpulkan kepada ax² + bx + c = 0.
- Cari pembeza nyata, atau faktorkan dan cari kuasa dua sempurna seperti (x + 2)².
- Baca geometri daripada jadual di atas.
- Bagi tangen, cari titiknya: selesaikan punca berulang, kemudian guna garis untuk mencari y.
Contoh berlangkah
Tunjukkan bahawa y = x + 4 ialah tangen kepada x² + y² = 8, dan cari titik sentuhan.
Gantikan: x² + (x + 4)² = 8.
Kembangkan dan kumpulkan: x² + x² + 8x + 16 = 8, maka 2x² + 8x + 8 = 0, kemudian x² + 4x + 4 = 0.
Pembeza nyata: b² − 4ac = 16 − 16 = 0. Bentuk terfaktor bersetuju: (x + 2)² = 0, maka x = −2 dua kali.
Titik sentuhan: y = −2 + 4 = 2, jadi titiknya ialah (−2, 2).
Semakan: (−2)² + 2² = 4 + 4 = 8, jadi titik itu berada pada bulatan. Jejari ke (−2, 2) mempunyai kecerunan 2/(−2) = −1, garis mempunyai kecerunan 1, dan −1 × 1 = −1, jadi keduanya berserenjang, seperti tangen dan jejari.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Pelajar bertemu (x + 2)² = 0 dan merasakan jawapannya belum lengkap, lalu mereka-reka punca kedua.
Kerja yang salah: (x + 2)² = 0, maka x = −2 atau x = 2.
Pelajar menggunakan tabiat ± daripada x² = 4, yang tidak terpakai pada kuasa dua yang sama dengan sifar.
Jika anda menguji x = 2, maka y = 6 dan 4 + 36 = 40, bukan 8, jadi titik itu tidak berada pada bulatan.
Bacaan yang betul ialah (x + 2)² = 0 bermaksud x + 2 = 0 dan tiada yang lain. Satu jawapan bukan jawapan yang hilang. Ia ialah algebra yang memberitahu anda bahawa garis menyentuh bulatan sekali sahaja.
Semak sendiri
Kerjakan soalan ini pada kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Tunjukkan bahawa y = 4x − 4 menyentuh lengkung y = x², dan cari titik sentuhan.
Lihat jawapan
Samakan x² = 4x − 4, maka x² − 4x + 4 = 0 dan (x − 2)² = 0. Punca berulang ialah x = 2, jadi garis ialah tangen. Maka y = 4(2) − 4 = 4.
Titik sentuhan: (2, 4). Semak: 2² = 4.
2. Adakah y = x + 6 menyentuh x² + y² = 18? Jika ya, di mana?
Lihat jawapan
x² + (x + 6)² = 18 memberi 2x² + 12x + 36 = 18, maka 2x² + 12x + 18 = 0 dan x² + 6x + 9 = 0. Itu ialah (x + 3)² = 0, jadi x = −3 berulang.
Ya, ia ialah tangen, pada y = −3 + 6 = 3, iaitu (−3, 3). Semak: 9 + 9 = 18.
3. Berapakah titik yang dikongsi oleh y = x + 5 dan x² + y² = 18?
Lihat jawapan
x² + (x + 5)² = 18 memberi 2x² + 10x + 25 = 18, maka 2x² + 10x + 7 = 0. Pembeza nyata ialah 100 − 4(2)(7) = 100 − 56 = 44, iaitu positif.
Dua titik. Garis memotong bulatan dua kali kerana pembeza nyata lebih besar daripada sifar.
Ke mana selepas ini?
Seterusnya, lihat cara menukar perkataan kepada persamaan dalam membentuk sistem daripada dua kekangan, kemudian kembali kepada tangen dengan pemalar tidak diketahui dalam menyemak nilai parameter. Penjelajah persilangan garis dan bulatan menunjukkan tangen sebagai detik dua titik persilangan bercantum menjadi satu, dan penjelajah struktur kuadratik menunjukkan punca kembar sebagai graf yang menyentuh paksi.
Sesetengah pelajar boleh mengira pembeza nyata tetapi tidak dapat menyatakan maksudnya dalam gambar rajah. Guru kami mengerjakan kaitan itu dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.