把直线代入曲线后，如果二次方程有重根（repeated root），直线就恰好与曲线有一个接触点，所以它是切线（tangent）。这时判别式 b² − 4ac 等于零。
本课接在从非线性方程组中消去变量之后，并为按交点个数要求检验参数取值中的参数题做准备。判别式本身在二次结构与判别式中讲解。
各种结果长什么样？
代入之后，你得到一个关于 x 的二次方程。它的判别式把图像分成三种情况。
| 判别式 | 根 | 直线与曲线 |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | 两个不同的根 | 交于两点 |
| b² − 4ac = 0 | 一个重根 | 接触于一点（相切） |
| b² − 4ac < 0 | 没有实数根 | 不相交 |
重根是“穿过”和“错过”之间的分界。让一条直线慢慢掠过圆，有一瞬间它恰好只碰到圆。
怎么使用？
- 代入并整理成 ax² + bx + c = 0。
- 求判别式，或者因式分解后看是否出现 (x + 2)² 这样的完全平方。
- 对照上表读出几何意义。
- 若是切线，求切点： 解出重根，再用直线求 y。
例题详解
证明 y = x + 4 是圆 x² + y² = 8 的切线，并求切点。
代入： x² + (x + 4)² = 8。
展开并合并： x² + x² + 8x + 16 = 8，所以 2x² + 8x + 8 = 0，再化为 x² + 4x + 4 = 0。
判别式： b² − 4ac = 16 − 16 = 0。因式分解的结果一致：(x + 2)² = 0，所以 x = −2（二重根）。
切点： y = −2 + 4 = 2，所以切点是 (−2, 2)。
检验： (−2)² + 2² = 4 + 4 = 8，所以该点在圆上。半径到 (−2, 2) 的斜率是 2/(−2) = −1，直线的斜率是 1，−1 × 1 = −1，所以两者垂直，正如切线与半径应有的关系。
要小心的错误
学生看到 (x + 2)² = 0，觉得答案不完整，就自己编出第二个根。
错误写法： (x + 2)² = 0，所以 x = −2 或 x = 2。
学生把 x² = 4 时的 ± 习惯用到了“平方等于零”上，而这里并不适用。
试一下 x = 2：y = 6，4 + 36 = 40，不是 8，所以该点不在圆上。
正确的读法是：(x + 2)² = 0 表示 x + 2 = 0，没有别的。只有一个答案不代表漏了答案，而是代数在告诉你，直线只碰到圆一次。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. 证明 y = 4x − 4 与曲线 y = x² 相切，并求切点。
查看答案
令 x² = 4x − 4，得 x² − 4x + 4 = 0，即 (x − 2)² = 0。重根为 x = 2，所以直线是切线。此时 y = 4(2) − 4 = 4。
切点：(2, 4)。 检验：2² = 4。
2. y = x + 6 与 x² + y² = 18 相切吗？如果相切，切点在哪里？
查看答案
x² + (x + 6)² = 18 得 2x² + 12x + 36 = 18，所以 2x² + 12x + 18 = 0，再化为 x² + 6x + 9 = 0。即 (x + 3)² = 0，所以 x = −3 是重根。
是的，它是切线，切点的 y = −3 + 6 = 3，即 (−3, 3)。检验：9 + 9 = 18。
3. y = x + 5 与 x² + y² = 18 有几个公共点？
查看答案
x² + (x + 5)² = 18 得 2x² + 10x + 25 = 18，所以 2x² + 10x + 7 = 0。判别式为 100 − 4(2)(7) = 100 − 56 = 44，是正数。
两个点。 因为判别式大于零，直线与圆相交两次。
接下来学什么？
下一步，看怎样把文字变成方程，见由两个限制条件列出方程组，然后回到含未知常数的切线问题，见按交点个数要求检验参数取值。直线与圆交点探索器把相切显示成两个交点合并成一个的那一刻，二次结构探索器则把重根显示成图像刚好碰到横轴。
有些学生会算判别式，却说不出它在图像上的意思。我们的老师会在线上一对一 Additional Mathematics 补习中处理这层联系。