要找直线与圆的交点，把直线得到的表达式代入圆方程中的一个变量，解出得到的二次方程，再用直线求出每个对应的坐标。只要题目要求直线与圆的交点，Additional Mathematics 就会用到这项技能。
它属于线性与非线性联立模型，圆的方程则在圆的坐标方法中讲解。
为什么代入有效？
同时在直线和圆上的点，会同时满足两个方程。所以如果直线是 y = x + 1，那么在任何公共点上，y 与 x + 1 是同一个数。在圆方程中凡有 y 的地方写上 x + 1，等式仍然成立，而且只剩一个未知数。
剩下的是关于 x 的二次方程。二次方程可能有两个根、一个重根或没有根，正好对应直线穿过、相切或不相交。
具体怎么做？
- 整理直线，让一个变量单独在一边，通常是 y = mx + c。
- 代入圆的方程，并把表达式放在括号里。
- 完整展开括号，把所有项移到一边。
- 除以公因数，让二次方程更简单。
- 解二次方程，用因式分解或公式。
- 用直线求每个对应值，不要用圆。
- 检验两个点是否同时满足两个方程。
第 6 步用直线，是因为直线对每个 x 只给出一个对应值。圆会给每个 x 两个 y 值，容易出错。
例题详解
求直线 y = 2x − 1 与圆 x² + y² = 10 的交点。
代入： x² + (2x − 1)² = 10。
展开： (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1，所以 x² + 4x² − 4x + 1 = 10。
合并： 5x² − 4x − 9 = 0。
因式分解： (5x − 9)(x + 1) = 0，所以 x = 9/5 或 x = −1。
用直线求对应值： 当 x = −1 时，y = 2(−1) − 1 = −3。当 x = 9/5 时，y = 18/5 − 1 = 13/5。
答案： (−1, −3) 和 (9/5, 13/5)。
检验： (−1)² + (−3)² = 1 + 9 = 10。而 (9/5)² + (13/5)² = 81/25 + 169/25 = 250/25 = 10。两点也在直线上，因为 13/5 = 2(9/5) − 1。
要小心的错误
最常见的失误，是以为平方会分别作用在括号里的每一项。
错误写法： x² + (2x − 1)² = 10 变成 x² + 4x² − 1 = 10。
学生把 2x 平方、把 1 平方，却漏掉了中间项 −4x。
这样会得到 5x² = 11，看起来整齐，答案却是错的，而且完全看不到第二个交点。更正的办法，是把括号写两遍 (2x − 1)(2x − 1)，再把四个乘积全部算出来。
这条直线有常数项，所以中间项一定会出现。中间项不见了，就是警告信号。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. 求直线 x + y = 7 与圆 x² + y² = 25 的交点。
查看答案
y = 7 − x。所以 x² + (7 − x)² = 25，即 2x² − 14x + 49 = 25，得 2x² − 14x + 24 = 0，再化为 x² − 7x + 12 = 0。于是 (x − 3)(x − 4) = 0，x = 3 或 4。
对应值：y = 4 和 y = 3。
(3, 4) 和 (4, 3)。
2. 求 y = x + 1 与圆 (x − 2)² + (y − 1)² = 10 的交点。
查看答案
代入：因为 y − 1 = x，所以 (x − 2)² + x² = 10。展开：x² − 4x + 4 + x² = 10，得 2x² − 4x − 6 = 0，再化为 x² − 2x − 3 = 0。于是 (x − 3)(x + 1) = 0，x = 3 或 −1。
对应值：y = 4 和 y = 0。
(3, 4) 和 (−1, 0)。 检验 (3, 4)：1 + 9 = 10。检验 (−1, 0)：9 + 1 = 10。
3. 一位学生把 y = x + 3 代入 x² + y² = 29，写成 x² + x² + 9 = 29。错在哪里？正确的一行应该是什么？
查看答案
(x + 3) 的平方被写成了 x² + 9，漏掉了中间项 6x。正确的一行是 x² + x² + 6x + 9 = 29，得 2x² + 6x − 20 = 0，再化为 x² + 3x − 10 = 0，所以 x = 2 或 x = −5。
接下来学什么？
下一步看两个方程都是曲线的情形，见从非线性方程组中消去变量，再用综合练习测试整个模块。直线与圆交点探索器会画出图像，让你确认坐标；无计算器解题训练器则帮你练习 9/5 这样的精确分数运算。
有些学生能看懂例题的每一行，却在独立写出解答时丢分。我们的老师会在线上一对一 Additional Mathematics 补习中处理这种情况。