Peneroka ini mengambil garis Ax + By = C dan bulatan (x − h)² + (y − k)² = r². Ia menggantikan garis ke dalam bulatan, menyelesaikan kuadratik yang terhasil dan memberitahu sama ada garis itu tidak bertemu, menyentuh atau memotong bulatan.
Kerja ditunjukkan dalam susunan yang sama seperti jawapan peperiksaan, jadi mudah dibandingkan dengan kerja anda.
Bagaimana menggunakannya?
- Masukkan garis sebagai A, B dan C. Garis mengufuk y = 0 ialah A = 0, B = 1, C = 0. Garis mencancang x = 2 ialah A = 1, B = 0, C = 2.
- Masukkan pusat bulatan sebagai h dan k, serta jejari r.
- Tekan Cari persilangan.
- Tekan Set semula untuk kembali kepada garis y = 0 dan bulatan x² + y² = 9.
Jika anda bermula dengan y = mx + c, pindahkan sebutan x dahulu. Garis y = x + 1 menjadi −x + y = 1, maka A = −1, B = 1, C = 1.
Bagaimana membaca hasilnya?
Baris pertama menunjukkan kuadratik yang terbentuk daripada penggantian, dalam x jika B bukan 0 dan dalam y jika garis mencancang. Seterusnya ialah pembeza tentu (discriminant) dan maksudnya:
- melebihi sifar: dua titik, jadi garis ialah sekan;
- sifar: satu titik, jadi garis ialah tangen;
- kurang daripada sifar: tiada persilangan.
Semakan geometri membandingkan jarak dari pusat ke garis dengan jejari. Jarak yang lebih kecil daripada jejari bermaksud dua titik. Jarak yang sama dengan jejari bermaksud tangen. Jarak yang lebih besar bermaksud tidak bertemu.
Jika ada titik persilangan, alat ini menyenaraikan koordinatnya dan jadual baki, yang sepatutnya kira-kira 0 bagi garis dan bulatan. Rajah dilukis mengikut skala dan titik persilangan ditanda.
Contoh langkah demi langkah
Ambil garis y = x + 1, iaitu A = −1, B = 1, C = 1, dan bulatan x² + y² = 25, jadi h = 0, k = 0, r = 5.
Penggantian memberi 2x² + 2x − 24 = 0, yang dipermudah kepada x² + x − 12 = 0. Pembeza tentu bagi versi alat ini ialah 4 + 192 = 196, positif, jadi garis memotong bulatan dua kali.
Penyelesaian memberi x = 3 atau x = −4. Nilai y yang sepadan ialah 4 dan −3, jadi titiknya (3, 4) dan (−4, −3).
Semak (3, 4): 3² + 4² = 25, dan 4 = 3 + 1. Kedua-dua baki ialah 0.
Jarak dari pusat ke garis ialah 1/√2, kira-kira 0.7071, kurang daripada 5, sepadan dengan dua persilangan.
Sekarang cuba y = 3 dengan bulatan asal (A = 0, B = 1, C = 3). Kuadratiknya x² = 0, pembeza tentu ialah sifar dan alat ini melaporkan tangen pada (0, 3).
Jarak ke garis ialah 3, sama dengan jejari. Tukar C kepada 4 dan pembeza tentu menjadi negatif, jadi tiada persilangan.
Apakah andaian dan had alat ini?
- A dan B tidak boleh kedua-duanya 0. Itu bukan garis.
- Jejari mesti melebihi 0. Jejari sifar atau negatif bukan bulatan.
- Pembeza tentu yang sangat hampir sifar dianggap sifar, dan toleransi dinyatakan pada halaman. Baki di bawah 1e-12 ditunjukkan sebagai 0.
- Jawapan ditunjukkan sebagai perpuluhan dibundarkan kepada empat tempat, bukan dalam bentuk surd. Dalam peperiksaan, beri nilai tepat jika soalan memintanya.
- Alat ini menggunakan nombor anda seperti yang diberi. Ia tidak menyemak sama ada anda menyalin soalan dengan betul.
Pelajaran mana yang menerangkan idea di sebaliknya?
- Menggantikan garis ke dalam hubungan bulatan menyediakan kuadratik yang ditunjukkan alat ini dahulu.
- Mencari persilangan garis dan bulatan mengikut langkah penyelesaian yang sama secara penuh.
- Menggunakan tangen yang serenjang dengan jejari menerangkan semakan geometri.
- Menyelesaikan syarat parameter bagi tangen menukar kes pembeza tentu sifar menjadi soalan tentang parameter.
- Latihan kaedah koordinat bulatan memberi soalan campuran.
Topik ini ada dalam geometri koordinat bulatan. Jika algebra anda sering tersekat antara penggantian dan koordinat akhir, guru dalam tuisyen Additional Mathematics satu dengan satu dalam talian boleh menyemak kaedah anda pada soalan sebenar. Alat lain ada dalam direktori alat pembelajaran.