Garis ialah tangen kepada bulatan apabila ia bertemu bulatan pada tepat satu titik. Untuk mencari parameter seperti k, gantikan garis ke dalam bulatan, kumpulkan kuadratik, dan tetapkan pembeza nyatanya sama dengan sifar.
Pelajaran ini menggabungkan mencari persilangan garis dan bulatan dengan kerja pembeza nyata dalam struktur kuadratik dan pembeza nyata. Ia tergolong dalam kaedah koordinat bulatan.
Apakah maksud setiap nilai pembeza nyata?
Selepas penggantian, anda mempunyai kuadratik ax² + bx + c = 0 yang pekalinya mungkin mengandungi k. Pembeza nyata ialah b² − 4ac.
| Pembeza nyata | Bilangan persilangan | Garis ialah |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | 2 | sekan (memotong bulatan dua kali) |
| b² − 4ac = 0 | 1 | tangen |
| b² − 4ac < 0 | 0 | di luar bulatan |
Maka syarat tangen menukarkan soalan geometri kepada persamaan dalam k.
Bagaimanakah caranya, langkah demi langkah?
- Gantikan garis ke dalam bulatan, dengan k kekal sebagai huruf.
- Kembangkan dengan teliti, termasuk sebutan k di bahagian tengah.
- Kumpulkan kepada ax² + bx + c = 0, dengan b dan c mungkin mengandungi k.
- Tetapkan b² − 4ac = 0 dan selesaikan persamaan untuk k, yang selalunya kuadratik dalam k.
- Tulis setiap penyelesaian, kemudian semak satu nilai dengan mencari titik sentuhan atau satu jarak.
Contoh berlangkah
Cari nilai k supaya garis y = x + k ialah tangen kepada bulatan x² + y² = 8.
Langkah 1, gantikan: x² + (x + k)² = 8.
Langkah 2, kembangkan dan kumpulkan: x² + x² + 2kx + k² − 8 = 0, maka 2x² + 2kx + (k² − 8) = 0.
Langkah 3, pembeza nyata: a = 2, b = 2k, c = k² − 8.
b² − 4ac = 4k² − 8(k² − 8) = 4k² − 8k² + 64 = 64 − 4k².
Langkah 4, tetapkan sama dengan sifar: 64 − 4k² = 0, maka k² = 16 dan k = 4 atau k = −4.
Semakan: bagi k = 4, kuadratiknya ialah 2x² + 8x + 8 = 0, yang memberi (x + 2)² = 0, maka x = −2 dan y = 2. Titik (−2, 2) berada pada bulatan kerana 4 + 4 = 8. ✓ Kaedah jarak bersetuju: |k| ÷ √2 = 2√2 memberi |k| = 4.
Garis memotong bulatan dua kali apabila 64 − 4k² > 0, iaitu −4 < k < 4.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan kerap ialah berhenti pada satu nilai k.
Jawapan yang salah: k² = 16, maka k = 4
Pelajar hanya mengambil punca kuasa dua positif dan tidak perasan tangen yang kedua.
Pembetulannya ialah menulis ± setiap kali punca kuasa dua diambil: k = ±4. Lukis bulatan dan garis y = x + k untuk melihat sebabnya: terdapat satu tangen pada setiap sisi bulatan. Kesilapan lain ialah menetapkan pembeza nyata lebih besar daripada sifar, yang mencari julat k, bukan nilai tangen.
Semak sendiri
1. Cari k supaya y = 2x + k ialah tangen kepada x² + y² = 5.
Lihat jawapan
x² + (2x + k)² = 5 memberi 5x² + 4kx + k² − 5 = 0. Pembeza nyatanya 16k² − 20(k² − 5) = 100 − 4k². Tetapkan kepada 0: k² = 25.
k = 5 atau k = −5. Semakan: |k| ÷ √5 = √5 memberi |k| = 5. ✓
2. Cari m supaya y = mx + 4 ialah tangen kepada x² + y² = 4.
Lihat jawapan
x² + (mx + 4)² = 4 memberi (1 + m²)x² + 8mx + 12 = 0. Pembeza nyatanya 64m² − 48(1 + m²) = 16m² − 48. Tetapkan kepada 0: m² = 3.
m = √3 atau m = −√3. Semakan: 4 ÷ √(1 + 3) = 2, iaitu jejari. ✓
3. Bagi nilai k yang manakah y = x + k memotong x² + y² = 8 pada dua titik berbeza?
Lihat jawapan
Pembeza nyatanya 64 − 4k². Ia mesti lebih besar daripada 0, maka k² < 16.
−4 < k < 4.
Ke mana selepas ini
Seterusnya, terbalikkan arah dalam menterjemah syarat geometri kepada persamaan bulatan, kemudian uji topik dengan set latihan bulatan. Penjelajah persilangan garis dan bulatan menunjukkan kes tangen, dan penjelajah struktur kuadratik menunjukkan bagaimana pembeza nyata berubah apabila pekali berubah.
Jika anda boleh membuat setiap langkah secara berasingan tetapi hilang arah dalam soalan yang ada huruf, guru kami boleh melatih perancangan itu bersama anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.