Tangen menyentuh bulatan pada satu titik, dan ia berserenjang dengan jejari pada titik itu. Maka untuk mencari tangen, cari kecerunan jejari, tukarkannya kepada kecerunan serenjang, dan gunakannya dengan titik sentuhan.
Pelajaran ini tergolong dalam kaedah koordinat bulatan dan menggunakan peraturan kecerunan serenjang daripada garis lurus dan linearisasi. Soalan tangen muncul secara berasingan dan sebagai sebahagian soalan bulatan yang lebih panjang.
Apakah peraturan di sebalik kaedah ini?
Dua garis berkecerunan m₁ dan m₂ berserenjang apabila m₁ × m₂ = −1. Maka jika jejari berkecerunan m, tangen berkecerunan −1/m.
Dalam perkataan: terbalikkan pecahan dan tukar tandanya. Kecerunan jejari 4/3 memberi kecerunan tangen −3/4.
Bagaimanakah caranya, langkah demi langkah?
- Cari pusat bulatan, dengan melengkapkan kuasa dua jika perlu, dan sahkan titik itu benar-benar berada pada bulatan.
- Cari kecerunan jejari dari pusat ke titik itu.
- Terbalikkan dan nafikan untuk mendapat kecerunan tangen.
- Guna y − y₁ = m(x − x₁) dengan titik sentuhan dan kecerunan tangen.
- Kemaskan persamaan dan semak bahawa titik itu terletak padanya.
Contoh berlangkah
Cari persamaan tangen kepada (x − 3)² + (y + 2)² = 25 pada titik P(6, 2).
Langkah 1, pusat dan semakan: pusat ialah (3, −2). Pada P: (6 − 3)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25, maka P berada pada bulatan. ✓
Langkah 2, kecerunan jejari: dari (3, −2) ke (6, 2), kecerunannya (2 − (−2)) ÷ (6 − 3) = 4/3.
Langkah 3, kecerunan tangen: −3/4.
Langkah 4, garis melalui P: y − 2 = −3/4 (x − 6). Darab dengan 4: 4y − 8 = −3x + 18.
Langkah 5, kemaskan: 3x + 4y = 26.
Semakan: P memberi 18 + 8 = 26 ✓. Jarak dari pusat (3, −2) ke garis ialah |9 − 8 − 26| ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5, sama dengan jejari. ✓
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah berhenti selepas kecerunan jejari dan menggunakannya untuk tangen.
Jawapan yang salah: y − 2 = 4/3 (x − 6), maka 4x − 3y = 18
Pelajar mencari kecerunan jejari 4/3 dan menggunakannya terus. Garis itu ialah jejari, bukan tangen.
Pembetulannya ialah menambah satu baris lagi dalam setiap penyelesaian: “kecerunan tangen = −1 ÷ kecerunan jejari”. Satu lagi kesilapan lazim ialah menterbalikkan tanpa menafikan (3/4), atau menafikan tanpa menterbalikkan (−4/3). Darabkan kedua-dua kecerunan dan pastikan hasil darabnya −1.
Semak sendiri
1. Cari tangen kepada x² + y² = 13 pada (2, 3).
Lihat jawapan
Kecerunan jejari 3/2, kecerunan tangen −2/3. Maka y − 3 = −2/3 (x − 2), iaitu 3y − 9 = −2x + 4.
2x + 3y = 13. Semakan: 4 + 9 = 13. ✓
2. Cari tangen kepada (x − 1)² + (y − 2)² = 10 pada (4, 3).
Lihat jawapan
Semakan titik: 9 + 1 = 10 ✓. Kecerunan jejari (3 − 2) ÷ (4 − 1) = 1/3, maka kecerunan tangen −3.
y − 3 = −3(x − 4), maka 3x + y = 15. Semakan: 12 + 3 = 15. ✓
3. Cari tangen kepada (x + 1)² + (y − 4)² = 9 pada (2, 4).
Lihat jawapan
Semakan titik: 9 + 0 = 9 ✓. Pusat (−1, 4) dan titik (2, 4) mempunyai koordinat y yang sama, maka jejari mengufuk. Tangen mencancang: x = 2.
Ke mana selepas ini
Apabila tangen sudah mantap, teruskan ke menyelesaikan syarat parameter untuk tangen, kemudian uji topik dengan set latihan bulatan. Pelatih kerja tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik membantu aritmetik dan semakan pembeza nyata yang menyusul.
Jika anda faham mengapa tangen berserenjang tetapi masih tersilap tanda apabila masa suntuk, guru kami boleh melatih rutin anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.