Untuk membentuk sistem daripada dua kekangan, namakan nombor yang tidak diketahui, tulis setiap syarat sebagai satu persamaan, kemudian selesaikan pasangan itu melalui penggantian. Satu syarat selalunya linear, seperti hasil tambah atau beza, dan satu lagi bukan linear, seperti hasil darab, luas atau teorem Pythagoras.
Pelajaran ini menggunakan kemahiran penyingkiran daripada menggantikan garis ke dalam bulatan dan menyingkirkan pemboleh ubah daripada pasangan bukan linear, dan ia terletak dalam model serentak linear dan bukan linear.
Bagaimana menukar perkataan kepada persamaan?
Baca soalan sekali untuk mencari apa yang tidak diketahui, kemudian sekali lagi untuk mencari fakta. Setiap fakta menjadi satu persamaan.
| Perkataan | Persamaan |
|---|---|
| perimeter segi empat tepat ialah P | 2x + 2y = P, maka x + y = P/2 |
| luas ialah A | xy = A |
| pepenjuru ialah d | x² + y² = d² |
| dua nombor berbeza 3 | x − y = 3 |
| hasil tambah kuasa dua ialah S | x² + y² = S |
Kemudian pilih persamaan linear, susun semula, dan gantikan ke dalam yang bukan linear. Persamaan linear memendekkan kerja.
Contoh berlangkah
Sebuah taman segi empat tepat mempunyai perimeter 34 m dan pepenjuru 13 m. Cari panjang dan lebarnya.
Takrif: biar panjang ialah x m dan lebar y m.
Syarat 1, perimeter: 2x + 2y = 34, maka x + y = 17.
Syarat 2, pepenjuru: mengikut Pythagoras, x² + y² = 13² = 169.
Gantikan: y = 17 − x, maka x² + (17 − x)² = 169.
Kembangkan: x² + 289 − 34x + x² = 169, maka 2x² − 34x + 120 = 0, kemudian x² − 17x + 60 = 0.
Selesaikan: (x − 5)(x − 12) = 0, maka x = 5 atau x = 12.
Pasangan: jika x = 5, y = 12, dan jika x = 12, y = 5. Ini ialah segi empat tepat yang sama dengan label bertukar tempat.
Jawapan: taman itu berukuran 12 m kali 5 m.
Semakan: 2(12 + 5) = 34, dan 12² + 5² = 144 + 25 = 169.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan lazim ialah menggunakan keseluruhan perimeter seolah-olah ia x + y.
Kerja yang salah: perimeter 34 memberi x + y = 34.
Pelajar terlupa bahawa segi empat tepat mempunyai dua panjang dan dua lebar, jadi x + y ialah separuh perimeter.
Dengan x + y = 34, penggantian memberi x² + (34 − x)² = 169, yang membawa kepada 2x² − 68x + 987 = 0. Pembeza nyatanya ialah 68² − 4(2)(987) = 4624 − 7896, iaitu negatif, jadi tiada penyelesaian nyata.
Hasil yang mengatakan segi empat tepat itu tidak wujud ialah isyarat untuk kembali kepada persamaan pertama. Pembetulannya ialah membahagi dua perimeter: perimeter segi empat tepat ialah 2x + 2y, maka x + y = 17.
Semak sendiri
Kerjakan soalan ini pada kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Dua nombor berjumlah 10 dan hasil darabnya 21. Cari nombor itu.
Lihat jawapan
x + y = 10 dan xy = 21. Gantikan y = 10 − x: x(10 − x) = 21, maka x² − 10x + 21 = 0 dan (x − 3)(x − 7) = 0.
Nombor itu ialah 3 dan 7. Semak: 3 + 7 = 10 dan 3 × 7 = 21.
2. Sebuah segi tiga bersudut tegak mempunyai hipotenus 13 cm, dan sisi tegak yang lebih pendek ialah 7 cm kurang daripada sisi yang lebih panjang. Cari kedua-dua sisi tegak.
Lihat jawapan
Biar sisi tegak ialah x (lebih panjang) dan y (lebih pendek). Maka x − y = 7 dan x² + y² = 169. Gantikan x = y + 7: (y + 7)² + y² = 169, maka 2y² + 14y + 49 = 169 dan y² + 7y − 60 = 0. Maka (y + 12)(y − 5) = 0, jadi y = −12 atau y = 5.
Panjang tidak boleh negatif, jadi tolak y = −12. Maka y = 5 dan x = 12.
Sisi tegak ialah 12 cm dan 5 cm. Semak: 144 + 25 = 169.
3. Sebuah segi empat tepat mempunyai luas 48 cm² dan perimeter 28 cm. Cari sisinya.
Lihat jawapan
xy = 48 dan x + y = 14. Gantikan y = 14 − x: x(14 − x) = 48, maka x² − 14x + 48 = 0 dan (x − 6)(x − 8) = 0.
Sisinya ialah 6 cm dan 8 cm. Semak: 6 × 8 = 48 dan 2(6 + 8) = 28.
Ke mana selepas ini?
Apabila anda boleh membentuk sistem dengan yakin, langkah seterusnya ialah bertanya berapa penyelesaian yang ada, dalam menyemak nilai parameter bagi bilangan persilangan yang diminta. Pelatih kerja tanpa kalkulator menjaga aritmetik tepat anda kemas, dan penjelajah struktur kuadratik menunjukkan rupa kuadratik yang terhasil.
Jika markah anda hilang semasa menukar ayat soalan kepada persamaan, guru kami boleh melatih langkah itu dengan konteks baharu dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.