Set ini mempunyai dua belas soalan asli, daripada yang mudah kepada yang sukar. Ia meliputi kelima-lima pelajaran dalam model serentak linear dan bukan linear. Soalan 1 hingga 4 menggantikan garis ke dalam bulatan, dan soalan 5 ialah pasangan bukan linear.
Soalan 6 dan 7 tentang tangen dan garis yang tidak bertemu bulatan. Soalan 8 dan 9 ialah soalan cerita, manakala soalan 10 hingga 12 menggunakan pemalar yang tidak diketahui.
Cuba setiap soalan pada kertas dan akhiri dengan menggantikan jawapan anda ke dalam kedua-dua persamaan asal. Barulah buka jawapan.
Tandakan soalan yang salah, kemudian ikut senarai di hujung untuk tahu pelajaran mana perlu diulang. Penjelajah persilangan garis dan bulatan serta penjelajah struktur kuadratik berguna untuk menyemak selepas anda mencuba sendiri.
Soalan
1. Cari titik tempat y = x + 2 bertemu x² + y² = 10.
Lihat jawapan
Gantikan: x² + (x + 2)² = 10, maka 2x² + 4x + 4 = 10 dan x² + 2x − 3 = 0. Maka (x + 3)(x − 1) = 0, jadi x = −3 atau x = 1.
Pasangan daripada garis: y = −1 dan y = 3.
(−3, −1) dan (1, 3). Semak: 9 + 1 = 10 dan 1 + 9 = 10.
2. Dua nombor mempunyai hasil tambah 5 dan hasil darab 6. Cari nombor itu.
Lihat jawapan
x + y = 5 dan xy = 6. Letakkan y = 5 − x: x(5 − x) = 6, maka x² − 5x + 6 = 0 dan (x − 2)(x − 3) = 0.
Nombor itu ialah 2 dan 3. Semak: 2 + 3 = 5 dan 2 × 3 = 6.
3. Selesaikan 2x + y = 4 dan x² + y² = 13.
Lihat jawapan
y = 4 − 2x, maka x² + (4 − 2x)² = 13. Kembangkan: x² + 16 − 16x + 4x² = 13, maka 5x² − 16x + 3 = 0. Maka (5x − 1)(x − 3) = 0, jadi x = 1/5 atau x = 3.
Pasangan: apabila x = 3, y = −2. Apabila x = 1/5, y = 4 − 2/5 = 18/5.
(3, −2) dan (1/5, 18/5). Semak yang kedua: 1/25 + 324/25 = 325/25 = 13.
4. Cari tempat y = x − 2 bertemu bulatan (x − 1)² + (y + 2)² = 25.
Lihat jawapan
Oleh kerana y + 2 = x, bulatan menjadi (x − 1)² + x² = 25. Kembangkan: 2x² − 2x + 1 = 25, maka x² − x − 12 = 0 dan (x − 4)(x + 3) = 0. Maka x = 4 atau x = −3.
Pasangan: y = 2 dan y = −5.
(4, 2) dan (−3, −5). Semak (−3, −5): (−4)² + (−3)² = 16 + 9 = 25.
5. Selesaikan xy = 4 dan x² + y² = 17.
Lihat jawapan
y = 4/x, maka x² + 16/x² = 17 dan x⁴ − 17x² + 16 = 0. Maka (x² − 1)(x² − 16) = 0, jadi x = ±1 atau x = ±4.
Pasangan daripada y = 4/x: x = 1 memberi 4, x = −1 memberi −4, x = 4 memberi 1, x = −4 memberi −1.
(1, 4), (−1, −4), (4, 1), (−4, −1). Semak: 1 + 16 = 17.
6. Tunjukkan bahawa y = 2x − 5 ialah tangen kepada x² + y² = 5, dan cari titik sentuhan.
Lihat jawapan
x² + (2x − 5)² = 5 memberi 5x² − 20x + 25 = 5, maka 5x² − 20x + 20 = 0 dan x² − 4x + 4 = 0. Itu ialah (x − 2)² = 0, punca berulang, jadi garis ialah tangen.
Maka y = 2(2) − 5 = −1. Titik sentuhan: (2, −1). Semak: 4 + 1 = 5.
7. Berapakah titik sepunya bagi y = x + 3 dan x² + y² = 4?
Lihat jawapan
x² + (x + 3)² = 4 memberi 2x² + 6x + 9 = 4, maka 2x² + 6x + 5 = 0. Pembeza nyata ialah 36 − 4(2)(5) = 36 − 40 = −4, iaitu negatif.
Tiada. Garis tidak bertemu bulatan. Semak dengan jarak: 3/√2 kira-kira 2.12, lebih besar daripada jejari 2.
8. Sebuah segi empat tepat mempunyai perimeter 46 cm dan pepenjuru 17 cm. Cari panjang dan lebarnya.
Lihat jawapan
Biar sisinya x dan y. Maka x + y = 23 dan x² + y² = 289. Letakkan y = 23 − x: x² + 529 − 46x + x² = 289, maka 2x² − 46x + 240 = 0 dan x² − 23x + 120 = 0. Maka (x − 8)(x − 15) = 0.
Segi empat tepat itu berukuran 15 cm kali 8 cm. Semak: 2(15 + 8) = 46 dan 225 + 64 = 289.
9. Dua nombor positif berbeza 3, dan hasil tambah kuasa duanya ialah 117. Cari nombor itu.
Lihat jawapan
Biar nombor itu x dan y dengan x − y = 3. Maka x = y + 3 dan (y + 3)² + y² = 117, jadi 2y² + 6y + 9 = 117 dan y² + 3y − 54 = 0. Maka (y + 9)(y − 6) = 0.
Kedua-dua nombor positif, jadi tolak y = −9. Maka y = 6 dan x = 9.
Nombor itu ialah 9 dan 6. Semak: 9 − 6 = 3 dan 81 + 36 = 117.
10. Cari nilai k bagi y = 2x + k bertemu x² + y² = 20 pada dua titik berbeza.
Lihat jawapan
x² + (2x + k)² = 20 memberi 5x² + 4kx + k² − 20 = 0. Pembeza nyata ialah 16k² − 20(k² − 20) = 400 − 4k². Bagi dua titik, 400 − 4k² > 0, maka k² < 100.
−10 < k < 10. Semak dengan jarak: |k|/√5 = √20 memberi |k| = 10 pada kedudukan tangen.
11. Cari nilai k bagi y = x + k tidak bertemu lengkung y = x².
Lihat jawapan
Samakan x² = x + k, maka x² − x − k = 0. Pembeza nyata ialah 1 + 4k. Tiada persilangan memerlukan 1 + 4k < 0.
k < −1/4. Semak dengan k = −1: x² − x + 1 = 0 mempunyai pembeza nyata 1 − 4 = −3, iaitu negatif, jadi tiada punca nyata.
12. Garis y = 2x + k ialah tangen kepada lengkung y = x² − 4x + 7. Cari k dan titik sentuhan.
Lihat jawapan
Samakan x² − 4x + 7 = 2x + k, maka x² − 6x + (7 − k) = 0. Pembeza nyata ialah 36 − 4(7 − k) = 8 + 4k. Bagi tangen, 8 + 4k = 0.
k = −2. Maka x² − 6x + 9 = 0, jadi x = 3 dan y = 2(3) − 2 = 4. Titik sentuhan: (3, 4). Semak: 9 − 12 + 7 = 4.
Jika anda tersilap
- Kurungan dikembangkan dengan salah, atau sebutan tengah hilang (soalan 1, 3, 4): kembali ke menggantikan garis ke dalam hubungan bulatan.
- Punca hilang, pasangan negatif, atau punca mustahil dikekalkan (soalan 2, 5): kembali ke menyingkirkan pemboleh ubah daripada pasangan bukan linear.
- Satu jawapan dianggap kesilapan, atau titik tangen tidak ditemui (soalan 6, 7, 12): kembali ke mentafsir penyelesaian berulang secara geometri.
- Persamaan salah dibentuk daripada ayat soalan (soalan 8, 9): kembali ke membentuk sistem daripada dua kekangan.
- Julat k salah atau hanya satu sebelah (soalan 10, 11, 12): kembali ke menyemak nilai parameter bagi bilangan persilangan yang diminta.
Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan dan baris gilir ujian semula dan cuba soalan baharu beberapa hari kemudian. Kerja anda tentang pembeza nyata bergantung pada struktur kuadratik dan pembeza nyata.
Jika jenis kesilapan yang sama terus muncul dalam penyelesaian bertulis anda, guru kami boleh mengesan puncanya bersama anda dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.