Untuk menyelesaikan pasangan yang kedua-dua persamaannya bukan linear, ungkapkan satu pemboleh ubah daripada satu persamaan, gantikan ke dalam yang satu lagi, dan selesaikan kuadratik yang terhasil, selalunya dalam x². Soalan ini meminta setiap pasangan (x, y) yang memuaskan kedua-dua persamaan.
Pelajaran ini membina di atas menggantikan garis ke dalam bulatan dan menyumbang kepada soalan cerita dalam membentuk sistem daripada dua kekangan.
Daripada persamaan mana anda bermula?
Cari persamaan yang membolehkan satu pemboleh ubah ditulis berseorangan dengan usaha paling sedikit. Tiga corak meliputi kebanyakan soalan.
- xy = k. Tulis y = k/x. Selepas penggantian, anda mendarab dengan x², jadi anda bertemu sebutan x⁴.
- y = x² (atau yang serupa). Gantikan x² dalam persamaan lain dengan y. Kemudian anda menyelesaikan y, yang selalunya lebih mudah.
- Dua persamaan dalam x² dan y². Tambah atau tolak untuk menyingkirkan satu sebutan kuasa dua secara terus.
Apa pun laluannya, tugas anda ialah sampai kepada satu persamaan dengan satu nombor yang tidak diketahui.
Bagaimana mengendalikan kuadratik dalam x²?
Apabila hasilnya ax⁴ + bx² + c = 0, anggap x² sebagai satu nombor yang tidak diketahui. Tulis u = x² dan selesaikan kuadratik dalam u. Kemudian kembali: x = ±√u bagi setiap u positif, manakala u negatif tidak memberi x nyata.
Langkah ini ialah tempat kebanyakan penyelesaian kehilangan punca. Satu u positif menghasilkan dua nilai x, dan setiap x mempunyai y pasangannya sendiri.
Contoh berlangkah
Selesaikan xy = 6 dan x² + y² = 13.
Singkirkan y: y = 6/x, maka x² + 36/x² = 13.
Buang pecahan: darab dengan x²: x⁴ + 36 = 13x², maka x⁴ − 13x² + 36 = 0.
Biarkan u = x²: u² − 13u + 36 = 0, maka (u − 4)(u − 9) = 0 dan u = 4 atau u = 9.
Kembali kepada x: x² = 4 memberi x = ±2, dan x² = 9 memberi x = ±3.
Cari setiap pasangan dengan y = 6/x:
| x | 2 | −2 | 3 | −3 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | −3 | 2 | −2 |
Jawapan: (2, 3), (−2, −3), (3, 2), (−3, −2).
Semakan: dalam setiap pasangan xy = 6, dan x² + y² = 4 + 9 = 13 atau 9 + 4 = 13.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan biasa ialah mengambil punca kuasa dua positif sahaja, atau memadankan nilai dengan cuai.
Jawapan yang salah: x = 2, y = 3 dan x = 3, y = 2.
Pelajar menyelesaikan u dengan betul tetapi hanya menulis x = √u, terlupa bahawa x = −√u juga memuaskan x² = u.
Pembetulannya ialah menulis ± serta-merta apabila mengambil punca kuasa dua. Kemudian uji pasangan negatif dalam kedua-dua persamaan asal.
(−2)(−3) = 6 dan 4 + 9 = 13, jadi pasangan negatif ialah penyelesaian yang sah. Lakaran ringkas menunjukkan sebabnya: lengkung xy = 6 mempunyai cabang di bawah kiri dan juga di atas kanan, dan bulatan memotong kedua-duanya.
Semak sendiri
Kerjakan soalan ini pada kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Selesaikan xy = 10 dan x² + y² = 29.
Lihat jawapan
y = 10/x, maka x² + 100/x² = 29, memberi x⁴ − 29x² + 100 = 0. Maka (x² − 25)(x² − 4) = 0, jadi x = ±5 atau x = ±2.
Pasangan: y = 2, −2, 5, −5 masing-masing.
(5, 2), (−5, −2), (2, 5), (−2, −5). Semak: 25 + 4 = 29 dan 4 + 25 = 29.
2. Selesaikan y = x² dan x² + y² = 20.
Lihat jawapan
Gantikan x² dengan y: y + y² = 20, maka y² + y − 20 = 0 dan (y + 5)(y − 4) = 0. Maka y = 4 atau y = −5.
y = −5 memerlukan x² = −5, yang tiada penyelesaian nyata, jadi tolak. Apabila y = 4, x² = 4 dan x = ±2.
(2, 4) dan (−2, 4). Semak: 4 + 16 = 20.
3. Selesaikan x² − y² = 5 dan x² + y² = 13.
Lihat jawapan
Tambah kedua-dua persamaan: 2x² = 18, maka x² = 9 dan x = ±3. Tolak kedua-duanya: 2y² = 8, maka y² = 4 dan y = ±2.
Keempat-empat gabungan berfungsi kerana hanya kuasa dua yang muncul: (3, 2), (3, −2), (−3, 2), (−3, −2). Semak (3, −2): 9 − 4 = 5 dan 9 + 4 = 13.
Ke mana selepas ini?
Apabila penyingkiran menghasilkan punca kembar, gambarnya berubah, seperti yang diterangkan dalam mentafsir penyelesaian berulang secara geometri. Pelatih kerja tanpa kalkulator membantu aritmetik tepat sepanjang jalan, dan penjelajah struktur kuadratik menunjukkan bagaimana kuadratik dalam u berkelakuan.
Jika anda boleh mengikuti langkah ini tetapi tersekat semasa memilih penggantian pertama, guru kami boleh melatih pilihan itu bersama anda dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.