如果 y 与 x 成反比例（inversely proportional），那么每一对数据的 x × y 都是同一个数，可以写成 y = k/x。工人与天数、速度与时间、杯子的数量与杯子的容量，都是日常的例子，这一课属于比与比例推理。
背后的想法是什么？
有些总量是固定的。一项工作需要固定的工作量，一段旅程有固定的距离，一个壶有固定的容量。当一个量增加，另一个量就必须减少，总量才不变。
这个固定的总量就是乘积 x × y。x 加倍，y 必须减半；x 变成三倍，y 就除以 3。
怎样认出并使用，一步一步来
- 把每一对数据的 x 乘以 y。
- **比较乘积。**如果全部相同，这个关系就是反比例。
- 写出规则 y = k/x，其中 k 是乘积。
- **使用规则：**缺少的 y 是 k ÷ x，缺少的 x 是 k ÷ y。
例题
| 工人数 (x) | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 天数 (y) | 30 | 20 | 12 |
步骤 1，相乘： 2 × 30 = 60，3 × 20 = 60，5 × 12 = 60。
**步骤 2，比较：**三个乘积都是 60，所以天数与工人数成反比例。固定的总量是 60 个工人天。
步骤 3，规则： y = 60/x。
步骤 4，应用： 4 个工人时，y = 60 ÷ 4 = 15 天。12 个工人时，y = 60 ÷ 12 = 5 天。
检查： 4 × 15 = 60，12 × 5 = 60。工人越多，天数越少，符合预期。
要留意的错误
常见的错误是把这种情况当成正比例。
错误做法： 5 个工人要 12 天，所以 10 个工人要 12 × 2 = 24 天。
工人加倍，所需的时间不可能也加倍。
正确的推理是总量为 5 × 12 = 60 个工人天。10 个工人时，时间是 60 ÷ 10 = 6 天。如果答案的变化方向与常识相反，方法就错了，所以要问一问“变多是不是应该变少”。
自我检测
1. 8 台泵用 9 小时抽干一个水箱。在相同速率下，12 台泵需要多久？
显示答案
总量：8 × 9 = 72 泵小时。12 台泵：72 ÷ 12 = 6 小时。
检查：12 × 6 = 72。
2. y 与 x 成反比例吗？如果是，求 x = 6 时的 y。
| x | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|
| y | 12 | 6 | 3 |
显示答案
2 × 12 = 24，4 × 6 = 24，8 × 3 = 24。全部相等，所以是，y = 24/x。
x = 6 时，y = 24 ÷ 6 = 4。
3. 一辆车以 60 km/h 行驶，一段旅程需要 3 小时。如果以 90 km/h 行驶，需要多久？
显示答案
距离：60 × 3 = 180 km。以 90 km/h 行驶的时间：180 ÷ 90 = 2 小时。
检查：90 × 2 = 180。
接下来学什么
回到从表格建立正比例模型，把两种检验方法并排比较，然后试试综合练习。无计算器解题训练器可以支持除法步骤。
如果你在应用题里有时会选错模型，线上一对一数学补习的老师可以在你做题时听你说出推理，选错模型的当下就能纠正。