要从分组数据估计中位数，先建立累积频数，把每个总数画在所属组的上界，再从总频数的一半处横向读到曲线，然后向下读到横轴。同样的方法也能求四分位数和四分位距（interquartile range）。
这项技能属于数据图表与累积推理。它建立在你在读懂直方图时求出的各组频数之上，方法熟练后，这是最稳定的得分来源之一。
累积频数到底在统计什么？
累积频数是逐步累加的总数：有多少个数据小于或等于某个边界。最后一个累积频数等于数据的总个数。
这就是为什么每一组的描点位置是它的上界。“不超过 30 分钟”的数据，要到 30 才算全部统计完。
估计中位数的步骤
- 在频数一栏往下累加，得到累积频数一栏。
- 描点：点的坐标是（上界，累积频数），按题目要求用平滑曲线或直线段连接。从第一组的下界开始，累积频数为 0。
- 求位置：中位数用 n/2，下四分位数用 n/4，上四分位数用 3n/4。
- 读图：在纵轴从该高度横向读到曲线，再向下读到横轴。
- 答案要带单位并写明是估计值。如果需要两个描点之间的数值，线性内插能不用画图得到同样的结果。
例题
80 名学生上学所花的时间（分钟）分组如下。
| 时间 t（分钟） | 频数 | 上界 | 累积频数 |
|---|---|---|---|
| 0 < t ≤ 10 | 5 | 10 | 5 |
| 10 < t ≤ 20 | 12 | 20 | 17 |
| 20 < t ≤ 30 | 24 | 30 | 41 |
| 30 < t ≤ 40 | 22 | 40 | 63 |
| 40 < t ≤ 50 | 12 | 50 | 75 |
| 50 < t ≤ 60 | 5 | 60 | 80 |
**第 1 步，核对总数：**最后的累积频数是 80，与 80 名学生吻合。
**第 2 步，中位数的位置：**80 ÷ 2 = 40。第 40 个数据位于点 (20, 17) 与 (30, 41) 之间。
**第 3 步，内插：**从 17 到 41，曲线上升 24。我们需要从 17 升到 40，即 23，所以走过的比例是 23/24 ≈ 0.958。时间是 20 + 10 × 0.958 ≈ 29.6。
中位数 ≈ 29.6 分钟。
**第 4 步，四分位数：**n/4 = 20，位于 (20, 17) 与 (30, 41) 之间：20 + 10 × 3/24 = 21.25。3n/4 = 60，位于 (30, 41) 与 (40, 63) 之间：30 + 10 × 19/22 ≈ 38.64。
四分位距 ≈ 38.64 − 21.25 ≈ 17.4 分钟。
**第 5 步，附加问题：**有多少名学生用时超过 35 分钟？在 35 处，累积频数是 41 + 22 × 0.5 = 52。所以 80 − 52 = 28 名学生。
要留意的错误
常见错误是把点画在每组的中点，或者从频数而不是累积频数去读中位数。
错误答案：“中位数是 24，因为 24 是最大的频数。”
学生把一个频数当成了位置。中位数是一个时间，要在累积频数轴的高度 40 处横向读到曲线才能得到。
纠正的办法是按顺序问自己两个问题：“我需要哪个位置？”（n/2）和“那个位置上的数值是多少？”（横向读到曲线，再向下）。每个答案都应该落在横轴上。
自我检测
先试着做，再打开答案。
1. 为 60 个数据画了一条累积频数曲线。求中位数和上四分位数时，应在累积频数多少处横向读图？
显示答案
中位数：60 ÷ 2 = 30。上四分位数：3 × 60 ÷ 4 = 45。
2. 一次测验满分 100。在 20、40、60、80、100 分处的累积频数分别是 4、14、38、54、60。估计中位数分数。
显示答案
n = 60，所以需要第 30 个数据。它位于 (40, 14) 与 (60, 38) 之间。需要上升 30 − 14 = 16，占 24 的 16 份，所以分数是 40 + 20 × 16/24 = 40 + 13.33 ≈ 53.3。
3. 使用同样的数据，估计得分 70 分或以下的学生人数。
显示答案
70 正好在 60 与 80 的中间，这两处累积频数分别是 38 和 54。取中间值：38 + 16 × 0.5 = 46。大约有 46 名学生得分在 70 分或以下。
接下来学什么
分组数据的中位数经常用来比较两个组，这正是用一致的刻度比较两组分布的重点。你也可以回看直方图与频数密度，看看同样的分组数据在另一种图中是什么样子。免计算器演算训练器很适合练习分数步骤。
有些学生能画出整齐的曲线，读图时却还是丢分。老师看到读数线从哪里开始、在哪里停下，就能很快纠正，这也是我们在线上一对一数学补习中的工作方式之一。