在组距不相等的直方图中，柱子的高度是频数密度（frequency density），柱子的面积才是频数。所以要知道某一组有多少个数据，就把柱高乘以组距。
这项技能属于数据图表与累积推理。题目给出直方图，或要求根据分组频数表画直方图时，都会用到。
为什么直方图要用频数密度？
假设一个分组表里，某一组宽 10 个单位，下一组宽 20 个单位。宽的那一组只因为覆盖的范围大，就会装进更多数据。如果柱高直接等于频数，宽的那一组看起来会比实际更拥挤。
频数密度把频数按宽度平均分配，解决了这个问题：
频数密度 = 频数 ÷ 组距
因此 频数 = 频数密度 × 组距，也就是柱子的面积。
读图和画图的步骤
- 求每组的组距：上界减去下界。
- 画图时，把每组频数除以组距，得到的结果就是柱高。
- 读图时，把每根柱的高度乘以组距，得到频数。
- 只取柱子的一部分时，把柱高乘以你需要的那一段宽度。这假设数据在该组内均匀分布，所以答案只是估计值。
- 核对总数：如果题目给了数据总个数，用它检查。
例题
一幅直方图显示 85 名学生某个晚上做功课的时间（分钟）。各柱的高度（频数密度）如下：
| 时间 t（分钟） | 组距 | 频数密度 |
|---|---|---|
| 0 < t ≤ 10 | 10 | 1.2 |
| 10 < t ≤ 30 | 20 | 1.5 |
| 30 < t ≤ 40 | 10 | 2.5 |
| 40 < t ≤ 60 | 20 | 0.9 |
(a) 求每一组的频数。
第 1 步： 1.2 × 10 = 12。
第 2 步： 1.5 × 20 = 30。
第 3 步： 2.5 × 10 = 25。
第 4 步： 0.9 × 20 = 18。
第 5 步，检查： 12 + 30 + 25 + 18 = 85，与 85 名学生吻合。
(b) 估计用时超过 20 分钟但不超过 40 分钟的学生人数。
10 到 30 这一组中，从 20 到 30 的部分宽 10，频数是 1.5 × 10 = 15。30 到 40 整组再加上 25。
估计值：15 + 25 = 40 名学生。这是估计值，因为我们假设 10 到 30 这组的 30 名学生是均匀分布的。
要留意的错误
最常见的错误是把柱高直接当作频数。
错误答案：“10 到 30 这一组的频数是 1.5。”
学生直接从纵轴读出 1.5。但纵轴表示的是频数密度，所以这个数是“每分钟”的量，而不是学生人数。
纠正的办法是乘以组距：1.5 × 20 = 30。有个简单的习惯可以避免这种错误：先读纵轴标签，再去读任何一根柱。
自我检测
先不用计算器做，再打开答案。
1. 一根柱覆盖 5 < x ≤ 15，高度为 3.2。这一组的频数是多少？
显示答案
组距是 15 − 5 = 10。频数 = 3.2 × 10 = 32。
2. 组 20 < x ≤ 50 的频数是 45。应该画多高的柱？
显示答案
组距是 50 − 20 = 30。频数密度 = 45 ÷ 30 = 1.5。
3. 组 0 < x ≤ 4 的频数是 10，下一组 4 < x ≤ 10 的频数是 18。求两根柱的高度，并说明哪一根更高。
显示答案
第一根：10 ÷ 4 = 2.5。第二根：18 ÷ 6 = 3。所以第二根更高（3 对 2.5），尽管两组频数相差不大，因为它更宽，数据在那里更集中。
接下来学什么
得到每组频数后，就可以建立累积总数，并用累积频数估计中位数。完成后用数据图表练习题测试整个单元。免计算器演算训练器能帮助练习除法与乘法，百分比基数探索器则适合题目要求求占总数的比例时使用。
有些学生在课堂上每一步都跟得上，但限时做题时还是读错图表。老师能看出是哪一步出了偏差，这正是我们在线上一对一数学补习中所做的事。