Untuk menganggar median daripada data terkumpul, bina kekerapan longgokan, plotkan setiap jumlah pada sempadan atas kelasnya, kemudian baca mendatar dari separuh jumlah kekerapan ke lengkung dan turun ke paksi. Kaedah yang sama memberi kuartil dan julat antara kuartil (interquartile range).
Kemahiran ini sebahagian daripada paparan data dan penaakulan longgokan. Ia bersambung daripada kekerapan kelas yang anda cari dalam membaca histogram, dan menjadi sumber markah yang boleh dipercayai apabila kaedahnya sudah lancar.
Apakah sebenarnya yang dikira oleh kekerapan longgokan?
Kekerapan longgokan ialah jumlah terkumpul: berapa banyak nilai yang kurang daripada atau sama dengan sesuatu sempadan. Kekerapan longgokan terakhir sama dengan jumlah bilangan nilai.
Itulah sebabnya titik plot bagi setiap kelas ialah sempadan atasnya. Nilai “tidak lebih daripada 30 minit” hanya dikira sepenuhnya apabila sampai ke 30.
Cara menganggar median, langkah demi langkah
- Tambah jumlah terkumpul menurun pada lajur kekerapan untuk membina lajur kekerapan longgokan.
- Plotkan titik sebagai (sempadan atas, kekerapan longgokan) dan sambungkan dengan lengkung licin atau tembereng lurus, mengikut arahan soalan. Mulakan dari sempadan bawah kelas pertama dengan kekerapan longgokan 0.
- Cari kedudukan: n/2 untuk median, n/4 untuk kuartil bawah, 3n/4 untuk kuartil atas.
- Baca mendatar dari ketinggian itu pada paksi menegak ke lengkung, kemudian turun ke paksi mengufuk.
- Jawab dengan unit dan nyatakan anggaran. Jika perlu nilai di antara dua titik yang diplot, interpolasi linear memberi idea yang sama tanpa graf.
Contoh berlangkah
Masa, dalam minit, yang diambil oleh 80 orang murid untuk ke sekolah dikumpulkan seperti berikut.
| Masa t (minit) | Kekerapan | Sempadan atas | Kekerapan longgokan |
|---|---|---|---|
| 0 < t ≤ 10 | 5 | 10 | 5 |
| 10 < t ≤ 20 | 12 | 20 | 17 |
| 20 < t ≤ 30 | 24 | 30 | 41 |
| 30 < t ≤ 40 | 22 | 40 | 63 |
| 40 < t ≤ 50 | 12 | 50 | 75 |
| 50 < t ≤ 60 | 5 | 60 | 80 |
Langkah 1, semak jumlah: kekerapan longgokan terakhir ialah 80, sepadan dengan 80 orang murid.
Langkah 2, kedudukan median: 80 ÷ 2 = 40. Nilai ke-40 terletak di antara titik (20, 17) dan (30, 41).
Langkah 3, interpolasi: dari 17 ke 41 lengkung naik 24. Kita perlu naik dari 17 ke 40, iaitu 23, jadi pecahan jaraknya ialah 23/24 ≈ 0.958. Masanya ialah 20 + 10 × 0.958 ≈ 29.6.
Median ≈ 29.6 minit.
Langkah 4, kuartil: n/4 = 20, di antara (20, 17) dan (30, 41): 20 + 10 × 3/24 = 21.25. 3n/4 = 60, di antara (30, 41) dan (40, 63): 30 + 10 × 19/22 ≈ 38.64.
Julat antara kuartil ≈ 38.64 − 21.25 ≈ 17.4 minit.
Langkah 5, soalan tambahan: berapa orang murid mengambil masa lebih daripada 35 minit? Pada 35, kekerapan longgokan ialah 41 + 22 × 0.5 = 52. Maka 80 − 52 = 28 orang murid.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah memplot pada titik tengah setiap kelas, atau membaca median daripada kekerapan dan bukan daripada kekerapan longgokan.
Jawapan yang salah: “Mediannya ialah 24, kerana 24 ialah kekerapan terbesar.”
Murid itu menggunakan nilai kekerapan seolah-olah ia kedudukan. Median ialah satu masa, yang dicari dengan membaca mendatar pada ketinggian 40 pada paksi kekerapan longgokan.
Pembetulannya ialah bertanya dua soalan mengikut turutan: “Kedudukan mana yang saya perlukan?” (n/2) dan “Nilai apakah di kedudukan itu?” (baca mendatar ke lengkung, kemudian turun). Setiap jawapan mesti berada pada paksi mengufuk.
Semak kendiri
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Lengkung kekerapan longgokan dilukis untuk 60 nilai. Pada kekerapan longgokan berapakah anda patut membaca untuk mencari median, dan kuartil atas?
Tunjuk jawapan
Median: 60 ÷ 2 = 30. Kuartil atas: 3 × 60 ÷ 4 = 45.
2. Satu ujian diberi markah penuh 100. Kekerapan longgokan pada markah 20, 40, 60, 80 dan 100 ialah 4, 14, 38, 54 dan 60. Anggarkan markah median.
Tunjuk jawapan
n = 60, jadi kita perlukan nilai ke-30. Ia terletak di antara (40, 14) dan (60, 38). Kenaikan yang diperlukan ialah 30 − 14 = 16 daripada 24, jadi markahnya ialah 40 + 20 × 16/24 = 40 + 13.33 ≈ 53.3.
3. Dengan data yang sama, anggarkan bilangan murid yang mendapat 70 markah atau kurang.
Tunjuk jawapan
70 berada separuh jalan antara 60 dan 80, dengan kekerapan longgokan 38 dan 54. Separuh jalan memberi 38 + 16 × 0.5 = 46. Kira-kira 46 orang murid mendapat 70 atau kurang.
Ke mana selepas ini
Median daripada data terkumpul sering dibandingkan antara dua kumpulan, iaitu tumpuan membandingkan dua taburan dengan skala serasi. Anda boleh menyemak semula pelajaran histogram dan ketumpatan kekerapan untuk melihat data terkumpul yang sama dalam paparan berbeza. Alat latihan kerja tanpa kalkulator berguna untuk langkah pecahan.
Ada murid yang melukis lengkung dengan kemas tetapi hilang markah semasa membacanya. Guru kami boleh menyemak di mana garis bacaan bermula dan berhenti dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu.