这十一道题涵盖整个排列与组合模块，由易到难排列。所有题目均为原创，如果约分仔细，不需要计算器。关于计算器的使用规定，请参阅 Cambridge 对你所考年份的 Additional Mathematics 0606 课程大纲说明。
**使用方法：**计算之前先写一行字，说明顺序是否重要。每题先在纸上做，然后打开答案，对照方法和数字。把错误记在错题记录与重测队列里，如果约分很慢，可以用免计算器解题训练器。
题目
1. 求 7P3 和 7C3 的值。
查看答案
7P3 = 7 × 6 × 5 = 210。7C3 = 210 / 3! = 210 / 6 = 35。
检查：35 × 6 = 210，所以 nPr = nCr × r! 成立。
2. 一个 10 名学生的班级需要 (a) 选出一名风纪和一名副风纪，(b) 选出两名学生参加工作坊。分别求方法数。
查看答案
(a) 两个职位不同，所以顺序重要：10P2 = 10 × 9 = 90。
(b) 两名学生的角色相同，所以顺序不重要：10C2 = 90 / 2 = 45。
检查：45 × 2 = 90。
3. 六本不同的书放在书架上。求 (a) 没有条件时的排法数，(b) 数学书必须放在最左端时的排法数。
查看答案
(a) 6! = 720。
(b) 数学书固定，其余 5 本自由排列：5! = 120。
检查：数学书出现在 6 个位置的可能性均等，720 / 6 = 120。
4. 用数字 1 到 6，数字不重复，可以组成多少个 3 位奇数？
查看答案
先填末位。它必须是奇数：1、3 或 5，共 3 种选择。然后首位有 5 种选择，第二位有 4 种。
3 × 5 × 4 = 60。
检查：3 位数的总数是 6 × 5 × 4 = 120，其中一半是奇数，所以是 60。
5. 从 7 个男生和 6 个女生中选出 5 人的委员会。恰好有 3 个女生的委员会有多少个？
查看答案
3 个女生和 2 个男生：6C3 × 7C2 = 20 × 21 = 420。
检查：6C3 = (6 × 5 × 4) / 6 = 20。7C2 = (7 × 6) / 2 = 21。20 × 21 = 420。
6. 从 10 名球员中选出 4 人的队伍，队长德夫必须在队中。有多少种可能的队伍？
查看答案
先放德夫，再从其余 9 人中选 3 人：9C3 = (9 × 8 × 7) / 6 = 504 / 6 = 84。
检查：10C4 = 210 支队伍，每支有 4 名成员，所以德夫在其中 210 × 4 / 10 = 84 支队伍里。
7. 六个人排成一行。A 和 B 相邻的排法有多少种？
查看答案
把 A 和 B 当成一个整体。5 个对象有 5! = 120 种排法，A 和 B 在整体内可互换，有 2 种。
120 × 2 = 240。
检查：A 和 B 相邻的位置对有 5 组，再乘以 2 种顺序，共 10 种放法。其余 4 人排在剩下的位置，有 4! = 24 种。10 × 24 = 240。
8. 从 5 个男生和 7 个女生中选出 4 人的小组。至少含一个男生的小组有多少个？
查看答案
用补集。总数：12C4 = (12 × 11 × 10 × 9) / 24 = 11 880 / 24 = 495。没有男生，即 4 人全从 7 个女生中选：7C4 = 35。
495 − 35 = 460。
检查（直接法）：1 男：5 × 35 = 175。2 男：10 × 21 = 210。3 男：10 × 7 = 70。4 男：5。总和 = 175 + 210 + 70 + 5 = 460。
9. 七个人排成一行。P 和 Q 不相邻的排法有多少种？
查看答案
总数 7! = 5040。P 和 Q 相邻：6! × 2 = 720 × 2 = 1440。
5040 − 1440 = 3600。
检查（空隙法）：其他 5 人排法 5! = 120，留下 6 个空隙。P 和 Q 放入两个不同空隙有 6 × 5 = 30 种。120 × 30 = 3600。
10. 从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 人的小组。一位学生说，至少有一个女生的小组数是 4 × 8C3 = 224，方法是先选一个女生，再从其余 8 人中任选 3 人。解释错误，然后求出正确答案。
查看答案
**错误：**有两个女生的小组被算了两次（每个女生先选一次），有三个女生的被算了三次，有四个女生的被算了四次。
**检查 224：**1 女：4 × 10 = 40，算一次 = 40。2 女：6 × 10 = 60，算两次 = 120。3 女：4 × 5 = 20，算三次 = 60。4 女：1，算四次 = 4。总和 40 + 120 + 60 + 4 = 224，这证实了错误的来源。
**正确答案：**9C4 − 5C4 = 126 − 5 = 121。
检查：40 + 60 + 20 + 1 = 121。
11. 用数字 0 到 9，数字不重复且首位不能是零，可以组成多少个 4 位偶数？
查看答案
按末位分情况，因为 0 的情形不同。
**末位是 0：**其余三位使用 9 个非零数字：9 × 8 × 7 = 504。
**末位是 2、4、6 或 8（4 种选择）：**首位不能是 0，也不能是末位数字，所以有 8 种选择。第二位有 8 种选择（现在可以用零，且已用了两个数字）。第三位有 7 种。所以 4 × 8 × 8 × 7 = 1792。
总数 = 504 + 1792 = 2296。
检查（补集）：首位不为零且数字不重复的数：9 × 9 × 8 × 7 = 4536。其中奇数：末位 5 种选择，首位 8 种，第二位 8 种，第三位 7 种，所以 5 × 8 × 8 × 7 = 2240。于是 4536 − 2240 = 2296。
如果你做错了
把你的错误对应到能修正它的课。
| 哪里出错 | 题号 | 去看 |
|---|---|---|
| 把 nPr 用在一组人，或把 nCr 用在有顺序的任务 | 1, 2 | 判断顺序是否重要 |
| 位置上的条件太晚才处理 | 3, 4, 11 | 计算含固定位置的排列 |
| 该乘时却加，或漏了一种情况 | 5, 6, 8 | 计算有限制条件的选取 |
| 情况很多、相邻与不相邻 | 7, 8, 9 | 用补集简化计数 |
| 方法听起来对，却得出过大的数 | 10 | 解释所提出方法中的重复计数 |
如果想再看一遍学习顺序，请回到模块概览。线上一对一附加数学补习的老师可以检视你的作答，帮你决定先回头复习哪一课。